Determinante de matriz

alguém sabe como calcular o determinante dessa matriz usando propriedades??

Gabarito:

Pode-se chegar no resultado por uma via imediata ou outro caminho um pouco mais longo:

i) Cada linha da matriz forma uma progressão aritmética de segunda ordem, resultando em colunas linearmente dependentes após duas operações elementares (em cada coluna). Então, o determinante vale 0.

ii)
\[
\begin{vmatrix}
a^2 & (1 + a)^2 & (2 + a)^2 & (3 + a)^2 \\
b^2 & (1 + b)^2 & (2 + b)^2 & (3 + b)^2 \\
c^2 & (1 + c)^2 & (2 + c)^2 & (3 + c)^2 \\
d^2 & (1 + d)^2 & (2 + d)^2 & (3 + d)^2
\end{vmatrix}
\]

Aplicando operações elementares \(C_2 - C_1\), \(C_3 - C_1\), \(C_4 - C_1\):

\[
\begin{vmatrix}
a^2 & 2a + 1 & 4a + 4 & 6a + 9 \\
b^2 & 2b + 1 & 4b + 4 & 6b + 9 \\
c^2 & 2c + 1 & 4c + 4 & 6c + 9 \\
d^2 & 2d + 1 & 4d + 4 & 6d + 9
\end{vmatrix}
\]

Em seguida, aplicando \(C_3 - 2C_2\) e \(C_4 -3 C_2\):

\[
\begin{vmatrix}
a^2 & 2a + 1 & 2 & 6 \\
b^2 & 2b + 1 & 2 & 6 \\
c^2 & 2c + 1 & 2 & 6 \\
d^2 & 2d + 1 & 2 & 6
\end{vmatrix}
\]

Como as colunas 3 e 4 são proporcionais, o determinante é 0.

Obrigado vitor