dilatação térmica.

Boa tarde.
Há um retângulo com dimensões 2x e 3x, logo sua diagonal é encontrada por pitágoras.
Ao sofrer uma variação de temperatura, haverá uma dilatação nas 3 medidas, então para que a caixa não se deforme, é necessário que a relação de pitágoras ainda continue válida.
Encontrando a medida inicial da diagonal:
[latex] d^2 = (3x)^2 + (2x)^2 \therefore d = x\sqrt{13} [/latex]
Utilizando a relação da dilatação para encontrar o valor final:
[latex] \Delta L = L_o \alpha \Delta T \rightarrow L_f=L_o(1 + \alpha \Delta T) [/latex]
Agora, fazendo o pitágoras novamente, após ter ocorrido uma variação de temperatura, utilizando α para o coeficiente de dilatação linear do material da diagonal e β para o conhecido:
[latex] \left [  x\sqrt{13}(1 + \alpha \Delta T)\right ]^2 = \left [  3x(1 + \beta \Delta T)\right ]^2 + \left [  2x(1 + \beta \Delta T)\right ]^2 
13x^2(1 + \alpha \Delta T)^2=9x^2(1 + \beta \Delta T)^2+4x^2(1 + \beta \Delta T)^2 [/latex]
Cancelando x² e utilizando a aproximação fornecida no enunciado para os termos (1 + α∆T)² e (1 + β∆T)²:
[latex] 13(1 + 2\alpha \Delta T) = 9(1 + 2\beta \Delta T) + 4(1 +2\beta \Delta T) 
26\alpha \Delta T=26\beta \Delta T \therefore \alpha = \beta =1.10^{-5 \: \: o}C^{-1} [/latex]