Dilatação Térmica FGV!

Um serralheiro monta, com o mesmo tipo de vergalhão de ferro (de coeficiente de dilatação linear α),a armação esquematizada
 


A barra transversal que liga os pontos A e B não exerce
forças sobre esses pontos. Se a temperatura da armação
for aumentada de ∆θ, a barra transversal de comprimento
inicial L

A) continua não exercendo forças sobre os pontos A e B.

B) empurrará os pontos A e B, pois ficará 2 vezes maior
que o novo tamanho que deveria assumir.

C) empurrará os pontos A e B, pois ficará L.α.∆θ vezes
maior que o novo tamanho que deveria assumir.

D) tracionará os pontos A e B, pois ficará √2 vezes
menor que o novo tamanho que deveria assumir.

E) tracionará os pontos A e B, pois ficará L.α.∆θ vezes
menor que o novo tamanho que deveria assumir.

Queria ver a comprovação matemática,já que não estou conseguindo.

Gabarito:

Bem, basta você saber que os corpos dilatam com um aumento de temperatura.
Na situação descrita, a barra transversal vai aumentar, mas as que compõe os lados da figura também aumenta.
Logo, todas as direções serão dilatadas.
Consequentemente, continuará não exercendo forças sobre os pontos A e B.
Letra A

Provando matematicamente:

Seja A o comprimento do lado do quadrado  ---> L = A.√2 ---> L/A = √2

L' = L.(1 + α.∆θ)
A' = A.(1 + α.∆θ)

L'/A' = L/A ---> L'/A' = √2 ---> L' = A'.√2

São mantidas as mesmas proporções entre as diagonais e os lados dos quadrados. Não existirá nenhuma força entre A e B (nem de "empurramento" nem de tracionamento)

Valeu mestre!