Integral indefinida

Esta é bem complicada ao que me parece. Fiz aqui, mas deu bastante conta. Estava esperando por algo mais enxuto? Pois eu mesma não enxerguei.

Se ninguém postar alguma resolução curta, amanhã eu tento postar o que eu fiz.

Está bem. À noite eu posto o que eu fiz.

Tenha um bom dia!

Ei, boa noite.

Vim aqui me justificar, pois não conseguirei postar a resolução hoje conforme eu havia prometido.

Essa chuva que está aqui em São Paulo me atrapalhou. Cheguei muito tarde. Postarei a resolução em breve.

Primeiramente, peço desculpas pela demora. Como eu havia dito, não visualizei uma resolução mais econômica nas contas. Se houver dúvidas ou algum equívoco, avise.

[latex]\\\mathrm{\int \frac{2cos(x)+1}{[cos(x)+2]^2}dx=\int \frac{2[cos(x)+2]-3}{[cos(x)+2]^2}dx=\int \left \{ \frac{2[cos(x)+2]}{[cos(x)+2]^2}-\frac{3}{[cos(x)+2]^2} \right \}dx}\\\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ Manipulando:\int \frac{2cos(x)+1}{[cos(x)+2]^2}dx=2{\color{Red} \int \frac{1}{cos(x)+2}dx}-3{\color{Blue} \int \frac{1}{[cos(x)+2]^2}dx}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Red} \int \frac{1}{cos(x)+2}dx=\int \frac{sec^2\left ( \frac{x}{2} \right )}{tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )+3}dx}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Red} t =\frac{1}{\sqrt{3}}tan\left ( \frac{x}{2} \right ) \ \therefore\ dx=\frac{2\sqrt{3}}{sec^2\left ( \frac{x}{2} \right )}dt \ \therefore\ \int \frac{1}{cos(x)+2}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{t^2+1}dt=arctan(t)}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Red} \int \frac{1}{cos(x)+2}dx=\frac{2}{\sqrt{3}}arctan\left [ \frac{1}{\sqrt{3}}tan\left ( \frac{x}{2} \right ) \right ]}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Blue}Agora, pela\ subst.\ de\ Weierstrass\ em \int \frac{1}{[cos(x)+2]^2}dx:}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Blue} cos(x)=\frac{1-tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}\ o\ que\ acarreta\ \int \frac{1}{[cos(x)+2]^2}dx=\int \frac{1}{\left [ \frac{1-tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )} +2\right ]^2}dx}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Blue} u=tan\left ( \frac{x}{2} \right )\ \therefore\ dx=\frac{2}{sec^2\left ( \frac{x}{2} \right )}du=\frac{2}{u^2+1}du\ \therefore\ \int \frac{1}{[cos(x)+2]^2}dx=2\int \frac{u^2+1}{(u^2+3)^2}du}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Blue} \int \frac{1}{[cos(x)+2]^2}dx=2\int \frac{u^2+3-2}{(u^2+3)^2}du=\int \left [ \frac{u^2+3}{(u^2+3)^2}-\frac{2}{(u^2+3)^2} \right ]du=\int \left [ \frac{1}{u^2+3}-\frac{2}{(u^2+3)^2} \right ]du}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Blue}  \int \frac{1}{[cos(x)+2]^2}dx={\color{DarkOrange} \int \frac{1}{u^2+3}du}-2  {\color{Magenta} \int \frac{1}{(u^2+3)^2}du}}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{DarkOrange} v=\frac{1}{\sqrt{3}}u\ \therefore\ du=\sqrt{3}dv\ \therefore\ \int \frac{1}{u^2+3}du=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{v^2+1}dv=\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\left [ \frac{1}{\sqrt{3}}tan\left ( \frac{x}{2} \right ) \right ]}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Magenta} Dado\ que\ \int \frac{1}{(zk^2+w)^n}dk=\frac{2n-3}{2w(n-1)}\int \frac{1}{(zk^2+w)^{n-1}}dk+\frac{k}{2w(n-1)(zk^2+w)^{n-1}}}}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Magenta} \int \frac{1}{(u^2+3)^2}du=\frac{u}{6(u^2+3)}+\frac{1}{6}\int \frac{1}{u^2+3}du=\frac{u}{6(u^2+3)}+\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\left ( \frac{u}{\sqrt{3}} \right ) }}[/latex]

[latex]\mathrm{{\color{Magenta} \int \frac{1}{(u^2+3)^2}du=\frac{tan\left ( \frac{x}{2} \right )}{6[tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )+3]}+\frac{1}{\sqrt{3}}arctan\left [ \frac{1}{\sqrt{3}}tan\left ( \frac{x}{2} \right ) \right ]}}[/latex]

Agrupando tudo, tem-se que:

[latex]\mathrm{\boxed {\mathrm{\int \frac{2cos(x)+1}{[cos(x)+2]^2}dx=\frac{2tan\left ( \frac{x}{2} \right )}{3+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}+C}}}[/latex]