Oscilações-IRODOV

por Djouses Sáb 30 Dez 2023, 21:07

Um ponto move-se ao longo do eixo x de acordo com a lei x = a.sen²(wt - pi/4). Encontre: (a) a amplitude e o periodo das oscilações. Desenhe o gráfico x(t); (b) a projeção da velocidade Vx em função da coordenada x. Desenhe o gráfico Vx(x).

Você tem o gabarito? Caso tenha, a postagem é obrigatória (Regra XI)

por **Giovana Martins** Seg 01 Jan 2024, 14:10

Se eu não tiver errado nada, esta questão acaba sendo mais de matemática do que necessariamente de física. Veja.

[latex]\mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:sin^2\left ( \theta \right )=\frac{1}{2}[1-cos(2\theta )]}[/latex]

[latex]\mathrm{x(t)=asin^2\left ( \omega t-\frac{\pi}{4} \right )=\frac{a}{2}\left [ 1-cos\left ( 2\omega t-\frac{\pi}{2} \right ) \right ]\ \therefore\ x(t)=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}cos\left ( 2\omega t-\frac{\pi}{2} \right ) }[/latex]

[latex]\mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:cos\left ( \theta -\frac{\pi }{2} \right )=cos(\theta )cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )+sin(\theta )sin\left ( \frac{\pi }{2} \right )=sin(\theta )}[/latex]

[latex]\mathrm{Deste\ modo:x(t)=asin^2\left ( \omega t-\frac{\pi}{4} \right )=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}sin(2\omega t)}[/latex]

[latex]\mathrm{Identidade\ trigonom\acute{e}trica:sin(\theta +\pi )=sin(\theta )cos(\pi) +sin(\pi)cos(\theta )=-sin(\theta )}[/latex]

[latex]\mathrm{Deste\ modo:x(t)=asin^2\left ( \omega t-\frac{\pi}{4} \right )=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}sin(2\omega t+\pi)}[/latex]

[latex]\mathrm{ D o \ M.H.S . : x ( t ) = Asin( \omega_0 t+\phi _ 0 ) = \frac{a}{2}+\frac{a}{2}sin( 2\omega t+\pi )\ \therefore\ \boxed{\mathrm{A=\frac{a}{2}}}\ e\ \omega _0 = 2\omega }[/latex]

[latex]\mathrm{Dado\ que\ no\ M.H.S.\ T=\frac{2\pi}{\omega _0},logo, T=\frac{2\pi}{2\omega }\ \therefore\ \boxed{\mathrm{T=\frac{\pi}{\omega }}}}[/latex]

Vamos, agora, para o cálculo da velocidade.

[latex]\mathrm{Dado\ que\ x(t)=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}sin(2\omega t+\pi)}[/latex]

[latex]\mathrm{v_x(t)=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left [ \frac{a}{2}+\frac{a}{2}sin(2\omega t+2\pi)\right ]=a\omega cos(2\omega t+\pi)}[/latex]

[latex]\mathrm{Manipulando\ a\ \acute{u}ltima\ igualdade:v_x^2(t)=a^2\omega ^2cos^2(2\omega t+\pi )=a^2\omega ^2\left [ 1- sin^2(2\omega t+\pi )\right ]\ (i)}[/latex]

[latex]\mathrm{De\ x(t)=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}sin(2\omega t+\pi):\left [ x(t)-\frac{a}{2} \right ]^2=\frac{a^2}{4}sin^2(2\omega t+\pi)\ (ii)}[/latex]

[latex]\mathrm{De\ (i)\ e\ (ii):\boxed{\mathrm{v_x(x(t))=-4\omega ^2x(t)[x(t)-a]}}}[/latex]

Quanto aos gráficos, para x(t) basta esboçar a senoide e para o gráfico da velocidade ter-se-á uma parábola com concavidade voltada para baixo e cujas raízes são x = 0 e x = a.

Penso que seja isto.

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