Análise Combinatória

por Middleditch Seg 25 Dez 2023, 10:55

Aref NM4 Capítulo 13, 13.29
Sete pessoas, entre elas José e Eustáquio, estão reunidas para formar uma chapa com presidente, secretário, segundo-secretário e tesoureiro. Determine em quantas das possíveis chapas:
a) José é presidente e Eustáquio tesoureiro
b) José não é o presidente e Eustáquio não é o tesoureiro
Gabarito:
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por **Giovana Martins** Seg 25 Dez 2023, 11:36

Eu não sou muito boa em análise combinatória, mas acho que esta eu consigo. Veja se você concorda.

Item A:

Pessoas: {José, Eustáquio, a, b, c, d, e} = 7 pessoas

Chapa = _ _ _ _ (P, S, SS, T) = 4 cargos

Fixando José como presidente e Eustáquio como tesoureiros, restam dois cargos vagos (S e SS) para um total de 7 - 2 = 5 pessoas possíveis. Distribuindo estas 5 pessoas nos dois cargos vagos:

A_5,2 = 20 maneiras

Item B:

Pessoas: {José, Eustáquio, a, b, c, d, e} = 7 pessoas

Chapa = _ _ _ _ (P, S, SS, T) = 4 cargos

O arranjo A_7,4 é o total de possibilidade para distribuir as 7 pessoas nos 4 cargos.

O arranjo A_5,2 funciona da seguinte forma: sabendo que José não é o presidente e que Eustáquio não é o tesoureiro, fixemos ambos para estes cargos:

José Eustáquio _ _

Note que restaram os cargos S e SS para dispor entre {a, b, c, d, e} = 5 pessoas, logo: A_5,2 = 20, que corresponde ao número de chapas nas quais obrigatoriamente estão José e Eustáquio como presidente e tesoureiro, respectivamente.

Então, do total de possibilidades, devemos tirar aquelas que a gente não quer, que é justamente a possibilidades nas quais José e Eustáquio estão como presidente e tesoureiro, respectivamente (A_5,2 = 20), tal que:

N = A_7,4 - A_5,2 = 820 maneiras.

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