Desafio

Giovana Martins escreveu:

Desculpe a demora, Petras .

DaoSeek escreveu:

Podemos verificar indiretamente que x > y. Por exemplo, vamos fixar a = 1. Com as contas da Giovana, segue que \(x \neq y\). De fato,

\( \displaystyle x = y \Leftrightarrow  \dfrac{ab}{a+b} =\dfrac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2+ab} \Leftrightarrow  \dfrac{b}{b+1} = \dfrac{b\sqrt{1+b^2}}{b^2+b+1}  \Rightarrow  b = 0 \)

Para concluir, consideramos as funções f(b) e g(b) com \(b \in (0, \infty) \),  onde f(b) é igual  a área do quadrado verde e g(b) é a área do outro quadrado. Isto é, f(b) = x e g(b) = y. O caso que o petras do triângulo isósceles garante que f(1) > g(1). Tais funções são contínuas (não vou provar, mas não é difícil de acreditar) e isso implica que sempre vale f > g, pelo teorema do valor intermediário. Com isso provamos que x > y, como queríamos.

Obs.: Na figura, o paralelogramo vermelho tem área y, e o quadrado verde tem área x. Como EB + GY = AI + HX, decidir qual dos quadrados tem maior area fica basicamente restrito a decidir qual dos pontos X e Y está mais a direita ou a esquerda um do outro. Eu chuto que dá pra tirar uma solução geométrica com essa observação, mas não consegui agora. Fica a ideia caso alguém queira tentar desenvolver!!

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