Quadrado Inscrito no Triângulo Retângulo [Nível:médio?]

por LinkGyn12 Qui 07 Dez 2023, 20:42

Olá à todos, estou com um problema de geometria plana:
Dois quadrados de áreas x e y são inscritos de maneiras diferentes num mesmo triângulo retângulo. Qual é a área do triângulo? (eu particularmente chamei os catetos de a e b.)

Quadrado Inscrito no Triângulo Retângulo [Nível:médio?] Screen31

por **Elcioschin** Sex 08 Dez 2023, 21:52

por **Giovana Martins** Sáb 09 Dez 2023, 23:24

~~Confira as continhas. Honestamente, há uma boa chance de as continhas não estarem corretas, pois eu não as revisei.~~

[latex]\\\mathrm{\frac{h}{h-\sqrt{y}}=\frac{c}{\sqrt{y}}\to h\sqrt{y}=ch-c\sqrt{y}\to h=\frac{c\sqrt{y}}{c-\sqrt{y}}\ (i)}\\\\ \mathrm{Dado\ que\ h=\frac{ab}{c}\ (ii)\ e\ c=\sqrt{a^2+b^2}\ (iii):\sqrt{y}=\frac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2+ab}}\\\\ \mathrm{Sendo\ [ABC]=\frac{1}{2}ab\ (vi)\ \therefore\ \sqrt{y}=\frac{2[ABC]\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2+2[ABC]}\ (v)}\\\\ \mathrm{\frac{a-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{b-\sqrt{x}}\to \sqrt{x}=\frac{ab}{a+b}\ (vi)\ \therefore\ a^2+b^2=\frac{4[ABC]^2}{x}-4[ABC]\ (vii)}\\\\ [/latex]

~~Ao resolver a equação em (vii) você deve cair em uma equação do segundo grau em [ABC], que corresponde à área do triângulo ABC.~~

Esquece isto aqui. Vai dar muito trabalho.

por **Giovana Martins** Dom 10 Dez 2023, 17:36

Quadrado Inscrito no Triângulo Retângulo [Nível:médio?] Oie_tr17

Das relações de semelhança, tem-se:

[latex]\\\mathrm{\frac{h}{h-\sqrt{y}}=\frac{c}{\sqrt{y}}\to h\sqrt{y}=ch-c\sqrt{y}\to h=\frac{c\sqrt{y}}{c-\sqrt{y}}\ (i)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ Dado\ que\ h=\frac{ab}{c}\ (ii)\ \therefore\ y=\left (\frac{abc}{ab+c^2 } \right )^2\ (iii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{b-\sqrt{x}}\to x=\frac{a^2b^2}{\left (a+b \right )^2}\ (iv)}[/latex]

Agora, para facilitar, tendo em vista que as manipulações algébricas neste caso não estão muito simples de serem resolvidas (pelo menos eu não vi uma saída fácil), vou partir do princípio de que estamos lidando com um triângulo pitagórico cuja terna é dada por (a,b,c) = (3,4,5) (haveria a possibilidade de utilizar outros valores desde que as regras matemáticas não fosse violadas. Usei a terna pitagórica, pois o objetivo é simplificar os cálculos). Deste modo, obtemos as seguintes áreas:

[latex] \mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}ab=6,[X]=\frac{144}{49}\ e\ [Y]=\frac{3600}{1369}}[/latex]

Como os números acima possuem raízes exatas, me parece mais fácil testar as alternativas. Testando a alternativa C:

[latex]\\\mathrm{Da\ alternativa\ C\ tem-se\ que\ [ABC]=\frac{[X]}{2}\left ( 1+\sqrt{\frac{[X]}{[X]-[Y]}} \right )\ tal\ que:}\\\\ \mathrm{[ABC]=\frac{144}{98}\cdot \left [ 1+\sqrt{\frac{144}{49\cdot \left ( \frac{144}{49}-\frac{3600}{1369} \right )}} \right ]=\frac{144}{98}\cdot \left ( 1+\frac{37}{12} \right )\ \therefore\ [ABC]=6}[/latex]

por Mael0912 Qui 14 Dez 2023, 22:05

Giovana Martins escreveu:

Das relações de semelhança, tem-se:

[latex]\\\mathrm{\frac{h}{h-\sqrt{y}}=\frac{c}{\sqrt{y}}\to h\sqrt{y}=ch-c\sqrt{y}\to h=\frac{c\sqrt{y}}{c-\sqrt{y}}\ (i)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ Dado\ que\ h=\frac{ab}{c}\ (ii)\ \therefore\ y=\left (\frac{abc}{ab+c^2 } \right )^2\ (iii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{b-\sqrt{x}}\to x=\frac{a^2b^2}{\left (a+b \right )^2}\ (iv)}[/latex]

Agora, para facilitar, tendo em vista que as manipulações algébricas neste caso não estão muito simples de serem resolvidas (pelo menos eu não vi uma saída fácil), vou partir do princípio de que estamos lidando com um triângulo pitagórico cuja terna é dada por (a,b,c) = (3,4,5) (haveria a possibilidade de utilizar outros valores desde que as regras matemáticas não fosse violadas. Usei a terna pitagórica, pois o objetivo é simplificar os cálculos). Deste modo, obtemos as seguintes áreas:

[latex] \mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}ab=6,[X]=\frac{144}{49}\ e\ [Y]=\frac{3600}{1369}}[/latex]

Como os números acima possuem raízes exatas, me parece mais fácil testar as alternativas. Testando a alternativa C:

[latex]\\\mathrm{Da\ alternativa\ C\ tem-se\ que\ [ABC]=\frac{[X]}{2}\left ( 1+\sqrt{\frac{[X]}{[X]-[Y]}} \right )\ tal\ que:}\\\\ \mathrm{[ABC]=\frac{144}{98}\cdot \left [ 1+\sqrt{\frac{144}{49\cdot \left ( \frac{144}{49}-\frac{3600}{1369} \right )}} \right ]=\frac{144}{98}\cdot \left ( 1+\frac{37}{12} \right )\ \therefore\ [ABC]=6}[/latex]

caraca que questão dificil,essa questão é qual nivel:enem,ita ,indiano ou nada??

por **Giovana Martins** Sex 15 Dez 2023, 08:00

Mael0912 escreveu:
Giovana Martins escreveu:

Das relações de semelhança, tem-se:

[latex]\\\mathrm{\frac{h}{h-\sqrt{y}}=\frac{c}{\sqrt{y}}\to h\sqrt{y}=ch-c\sqrt{y}\to h=\frac{c\sqrt{y}}{c-\sqrt{y}}\ (i)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ Dado\ que\ h=\frac{ab}{c}\ (ii)\ \therefore\ y=\left (\frac{abc}{ab+c^2 } \right )^2\ (iii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{b-\sqrt{x}}\to x=\frac{a^2b^2}{\left (a+b \right )^2}\ (iv)}[/latex]

Agora, para facilitar, tendo em vista que as manipulações algébricas neste caso não estão muito simples de serem resolvidas (pelo menos eu não vi uma saída fácil), vou partir do princípio de que estamos lidando com um triângulo pitagórico cuja terna é dada por (a,b,c) = (3,4,5) (haveria a possibilidade de utilizar outros valores desde que as regras matemáticas não fosse violadas. Usei a terna pitagórica, pois o objetivo é simplificar os cálculos). Deste modo, obtemos as seguintes áreas:

[latex] \mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}ab=6,[X]=\frac{144}{49}\ e\ [Y]=\frac{3600}{1369}}[/latex]

Como os números acima possuem raízes exatas, me parece mais fácil testar as alternativas. Testando a alternativa C:

[latex]\\\mathrm{Da\ alternativa\ C\ tem-se\ que\ [ABC]=\frac{[X]}{2}\left ( 1+\sqrt{\frac{[X]}{[X]-[Y]}} \right )\ tal\ que:}\\\\ \mathrm{[ABC]=\frac{144}{98}\cdot \left [ 1+\sqrt{\frac{144}{49\cdot \left ( \frac{144}{49}-\frac{3600}{1369} \right )}} \right ]=\frac{144}{98}\cdot \left ( 1+\frac{37}{12} \right )\ \therefore\ [ABC]=6}[/latex]
caraca que questão dificil,essa questão é qual nivel:enem,ita ,indiano ou nada??

Eu não saberia ao certo qual o nível desta questão. Para o ENEM difícil, ITA fácil ou média, indiano fácil. Talvez.

por LinkGyn12 Qua 31 Jan 2024, 14:46

obrigado por me ajudarem <3

por LinkGyn12 Qua 31 Jan 2024, 15:03

Mael0912 escreveu:
Giovana Martins escreveu:

Das relações de semelhança, tem-se:

[latex]\\\mathrm{\frac{h}{h-\sqrt{y}}=\frac{c}{\sqrt{y}}\to h\sqrt{y}=ch-c\sqrt{y}\to h=\frac{c\sqrt{y}}{c-\sqrt{y}}\ (i)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ Dado\ que\ h=\frac{ab}{c}\ (ii)\ \therefore\ y=\left (\frac{abc}{ab+c^2 } \right )^2\ (iii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{b-\sqrt{x}}\to x=\frac{a^2b^2}{\left (a+b \right )^2}\ (iv)}[/latex]

Agora, para facilitar, tendo em vista que as manipulações algébricas neste caso não estão muito simples de serem resolvidas (pelo menos eu não vi uma saída fácil), vou partir do princípio de que estamos lidando com um triângulo pitagórico cuja terna é dada por (a,b,c) = (3,4,5) (haveria a possibilidade de utilizar outros valores desde que as regras matemáticas não fosse violadas. Usei a terna pitagórica, pois o objetivo é simplificar os cálculos). Deste modo, obtemos as seguintes áreas:

[latex] \mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}ab=6,[X]=\frac{144}{49}\ e\ [Y]=\frac{3600}{1369}}[/latex]

Como os números acima possuem raízes exatas, me parece mais fácil testar as alternativas. Testando a alternativa C:

[latex]\\\mathrm{Da\ alternativa\ C\ tem-se\ que\ [ABC]=\frac{[X]}{2}\left ( 1+\sqrt{\frac{[X]}{[X]-[Y]}} \right )\ tal\ que:}\\\\ \mathrm{[ABC]=\frac{144}{98}\cdot \left [ 1+\sqrt{\frac{144}{49\cdot \left ( \frac{144}{49}-\frac{3600}{1369} \right )}} \right ]=\frac{144}{98}\cdot \left ( 1+\frac{37}{12} \right )\ \therefore\ [ABC]=6}[/latex]
caraca que questão dificil,essa questão é qual nivel:enem,ita ,indiano ou nada??

acho que seria uma questão difícil do ITA, ou uma questão média de Olímpiada, como OBM.

por LinkGyn12 Qua 31 Jan 2024, 15:05

Giovana Martins escreveu:

Das relações de semelhança, tem-se:

[latex]\\\mathrm{\frac{h}{h-\sqrt{y}}=\frac{c}{\sqrt{y}}\to h\sqrt{y}=ch-c\sqrt{y}\to h=\frac{c\sqrt{y}}{c-\sqrt{y}}\ (i)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ Dado\ que\ h=\frac{ab}{c}\ (ii)\ \therefore\ y=\left (\frac{abc}{ab+c^2 } \right )^2\ (iii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{a-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{b-\sqrt{x}}\to x=\frac{a^2b^2}{\left (a+b \right )^2}\ (iv)}[/latex]

Agora, para facilitar, tendo em vista que as manipulações algébricas neste caso não estão muito simples de serem resolvidas (pelo menos eu não vi uma saída fácil), vou partir do princípio de que estamos lidando com um triângulo pitagórico cuja terna é dada por (a,b,c) = (3,4,5) (haveria a possibilidade de utilizar outros valores desde que as regras matemáticas não fosse violadas. Usei a terna pitagórica, pois o objetivo é simplificar os cálculos). Deste modo, obtemos as seguintes áreas:

[latex] \mathrm{[ABC]=\frac{1}{2}ab=6,[X]=\frac{144}{49}\ e\ [Y]=\frac{3600}{1369}}[/latex]

Como os números acima possuem raízes exatas, me parece mais fácil testar as alternativas. Testando a alternativa C:

[latex]\\\mathrm{Da\ alternativa\ C\ tem-se\ que\ [ABC]=\frac{[X]}{2}\left ( 1+\sqrt{\frac{[X]}{[X]-[Y]}} \right )\ tal\ que:}\\\\ \mathrm{[ABC]=\frac{144}{98}\cdot \left [ 1+\sqrt{\frac{144}{49\cdot \left ( \frac{144}{49}-\frac{3600}{1369} \right )}} \right ]=\frac{144}{98}\cdot \left ( 1+\frac{37}{12} \right )\ \therefore\ [ABC]=6}[/latex]

Obrigado por me ajudar, Giovanna Very Happy

por **Vitor Ahcor** Qua 31 Jan 2024, 17:48

Olá,

Uma outra ideia para resolver é:

(i)

Da figura, tiramos que:

AD+BD = AF+FB
√x*tgθ+√x = √y/cosθ + √y*sinθ
√x(1+sinθ/cosθ) = √y(sinθ+1/cosθ)
√x(cosθ+sinθ) = √y(1+sinθcosθ)

(ii)

Queremos encontrar 1/sinθcosθ. Daí, elevando ao quadrado a expressão acima:

x(cosθ+sinθ)² = √y(1+sinθcosθ)²
x(1+2sinθcosθ) =y(1+sin²θcos²θ+2sinθcosθ)

Vamos 1/sinθcosθ = k:

x(1+2/k) =y(1+1/k²+2/k)
x(k²+2k) = y(k²+2k+1)
k²(x-y)+2k(x-y)+(x-y) = x
(x-y)(k+1)² = x
k =√[x/(x-y)] - 1

(iii)
A área do ∆ABC é:

[ABC] = AB*BC/2
[ABC] = √x/2(1+tgθ)*√x(1+cotgθ)
[ABC] = x/2 *(2+1/(sinθcosθ))

Por fim, da etapa (ii)

[ABC] = x/2*(1+√[x/(x-y)]).

Quadrado Inscrito no Triângulo Retângulo [Nível:médio?] Captur13

Na minha opinião, acho que seria uma questão difícil se estivesse na 1ª fase do ITA, por conta do tempo, mas se fosse da segunda fase acho que seria considerada uma questão de nível médio ... Ou então sou eu quem está ficando mais lento, por ter feito esse vestibular há um tempinho.