Quadrado Inscrito no Triângulo Retângulo [Nível:médio?]

Giovana Martins escreveu:

Vitor Ahcor escreveu:Olá,

Uma outra ideia para resolver é:

(i)

Da figura, tiramos que:

AD+BD = AF+FB
√x*tgθ+√x = √y/cosθ + √y*sinθ
√x(1+sinθ/cosθ) = √y(sinθ+1/cosθ)
√x(cosθ+sinθ) = √y(1+sinθcosθ)

(ii)

Queremos encontrar 1/sinθcosθ. Daí, elevando ao quadrado a expressão acima:

x(cosθ+sinθ)² = √y(1+sinθcosθ)²
x(1+2sinθcosθ) =y(1+sin²θcos²θ+2sinθcosθ)

Vamos 1/sinθcosθ = k:

x(1+2/k) =y(1+1/k²+2/k)
x(k²+2k) = y(k²+2k+1)
k²(x-y)+2k(x-y)+(x-y) = x
(x-y)(k+1)² = x
k =√[x/(x-y)] - 1

(iii)
A área do  ∆ABC é:

[ABC] = AB*BC/2
[ABC] = √x/2(1+tgθ)*√x(1+cotgθ)
[ABC] = x/2 *(2+1/(sinθcosθ))

Por fim, da etapa (ii)

[ABC] = x/2*(1+√[x/(x-y)]).



Na minha opinião, acho que seria uma questão difícil se estivesse na 1ª fase do ITA, por conta do tempo, mas se fosse da segunda fase acho que seria considerada uma questão de nível médio ... Ou então sou eu quem está ficando mais lento, por ter feito esse vestibular há um tempinho.

Não é você que está ficando lento, não kkkk. Na verdade, quando eu vi a questão, vi que seria complicado chegar no gabarito certinho, daí eu decidi "roubar" e chutar valores. Como os números são simples, as contas ficariam relativamente fáceis.

Eu não conheço muito do ITA. Já fiz bastante questão deles, mas só sei da fama . Eu que devo ter classificado errado mesmo o nível da questão .