Triângulo inscrito num quadrado

por SamuelTavela Dom 29 Set 2019, 15:49

>> Na figura, PQMN é um quadrado de lado a, R é um ponto de PN, S é um ponto de NM e QRS é um triângulo equilátero. Determine a área do triângulo.

Triângulo inscrito num quadrado Images?q=tbn:ANd9GcRJjDV2kK8eShI5V0L9ZMSAcVKJpq0pD14uc1U6RXAkM6Gs70UI4w

*Consegui fazer por trigonometria, porém é necessário fazer pela geometria em si.

Agradeço de antemão.

por folettinhomed Dom 29 Set 2019, 17:12

Posta o gabarito

por **Elcioschin** Dom 29 Set 2019, 18:02

Seja PR = MS = x ---> NR = NS = L - x

No triângulo retângulo QMS (ou QPR) ---> QS² = MQ² + MS² ---> QS² = L² + x² ---> I

No triângulo retângulo RNS ---> RS² = RN² + SN² ---> RS² = (L - x)² + (L - x)² ---> RS² = 2.(L - x)² ---> II

I = II ---> L² + x² = 2.(L - x)² ---> L² + x² = 2.L² - 4.L.x + 2.x² ---> x² - 4.L.x + L² = 0

Calcule x, depois calcule o lado do triângulo e área do triângulo em função de L

por SamuelTavela Seg 30 Set 2019, 14:25

Mestre, estou a tempos tentando desenvolver a partir dai, porém a cada momento obtenho uma resposta diferente hahaha poderia me passar a resposta final, para eu ver qual das resoluções está correta, fazendo favor.

por **Elcioschin** Seg 30 Set 2019, 17:39

Você não está respeitando a Regra XI do fórum: pela sua última frase parece que você sabe o gabarito e não postou, junto com o enunciado.
E pior, foi cobrado a respeito pelo colega folettinhomed e não respondeu!

Sugiro que você corrija sua falha e informe o gabarito. Acho que é: S = √6 + √2
Sugiro também que mostre o passo-a-passo de suas tentativas, para vermos onde você errou.

Uma dica: dê uma lida na teria sobre "Radical Duplo":

√(A ±√B) = √x ± √y ---> x = √[(A + √(A² - B)/2] e y = √[(A - √(A² - B)/2]

E lembre-se que 4.√3 = √48

por **Vitor Ahcor** Seg 30 Set 2019, 19:37

Uma outra saída:

Triângulo inscrito num quadrado Screen36

Pitágoras no ∆QMS:

x² = L² + (L - x*√2/2)²
x² = L² + L² + x²/2 - Lx*√2
x²/2 + Lx*√2 - 2L² = 0
.: x = -L*√2 + L*√6 .: x = L(√6 - √2)

Daí, é imediato:

[QRS] = x²√3/4
[QRS] = L²(√6-√2)²*√3/4
[QRS] = L² (8-4√3)*√3/4
[QRS] = L²*(2√3 - 3).