probabilidade em roleta

Num programa de TV tem um quadro que premia participantes previamente selecionados. O melhor dos prêmios é um carro zero quilômetro. Para ganhar esse prêmio o participante tem que girar três vezes uma roleta com numeração de 1 a 10. Se a soma dos números obtidos nos três giros for menor que 10, o participante leva o prêmio. Ao girar a roleta três vezes, qual a probabilidade de um participante ganhar o carro?

resposta: 28,2%

Total de possibilidades = 10.10.10 = 1000

Não pode ter algarismos 8, 9, 10 ---> 

Um modo trabalhoso:

Começando por 1:

111, 112, 113, 114, 115, 116, 117 ---> 7 possibilidades
121, 122, 123, 124, 125, 126 ---> 6 possibilidades
131, 132, 133, 134, 135 ---> 5 possibilidades
141, 142, 143, 144 ---> 4 possibilidades
151, 152, 153 ---> 3 possibilidades
161, 122 ---> 2 possibilidades
171 ---> 1 possibilidades

Total N₁ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 possibilidades

Começando por 2 ---> N₂ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 possibilidades

E assim por diante, até:

N₆ = 3 possibilidades (611, 612, 621)
N₇ = 1 possibilidades (711)

Tente completar

Sejam X1, X2 e X3 variáveis aleatórias uniformes ~ (1,10). Basicamente, precisamos descobrir a função de distribuição cumulativa da variável aleatória Y = X1 + X2 + X3 e calcular Fy(10) = P(Y < 10). A distribuição da soma de variáveis aleatórias é a convolução entre essas variáveis, mas podemos chegar à P(Y < 10) simplesmente condicionando X1 à X2 e à X3: 

[latex]\mathbb{P}[X_1 + X_2 + X_3 < 10] = \mathbb{P}[X_1 < 10 - X_2 - X_3 \; | X_2,X_3][/latex]
Segue-se que:
[latex]\mathbb{P}[X_1 < 10 - X_2 - X_3 \; | X_2,X_3] = \sum_{x_2 \in X_2} \sum_{x_3 \in X_3} \mathbb{P}[X_1 < 10 - x_2 - x_3]\mathbb{P}_{X_2,X_3}[x_2,x_3][/latex]

X1 é uma variável uniforme e tem sua distribuição cumulativa conhecida. Além disso, X2 e X3 são variáveis independentes, então a distribuição conjunta é o produto das distribuições individuais. Portanto:

[latex]\noindent \mathbb{P}[Y < 10] = \sum_{x_2 \in X_2} \sum_{x_3 \in X_3} \frac{10 - x_2 - x_3}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} [/latex]


[latex]\noindent \mathbb{P}[Y < 10] = \frac{1}{1000} \sum_{x_2 \in X_2} \sum_{x_3 \in X_3} 10 - x_2 - x_3 [/latex]


Aqui é preciso fazer a soma em X2 e X3, de tal sorte que a soma (x_2 + x_3) não seja maior a 9. 

Suponha que X2 = 1, X3 pode ser escolhido entre (1,2,3,4,5,6,7,, o que corresponde à soma 9*8 - 8*1 - (1+2+3+4+5+6+7+ = 28. Agora suponha que X2 = 2, X3 pode ser escolhido entre (1,2,3,4,5,6,7), o que corresponde à soma 9*7 - 7*2 - (1+2+3+4+5+6+7) = 21. Repetindo esse processo, chega-se à (28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1) = 84. Portanto, P(Y < 10) = 84/1000 = 8,4%. 

Cheguei ao mesmo resultado do amigo lá em cima, então ou nós dois cometemos algum erro da mesma natureza, ou o gabarito está errado.