Calculo da Posição usando integral

por ReplayBr Qua 15 Nov 2023, 11:16

Uma partícula se desloca sobre o eixo x com
uma função posição x = x(t). Determine x = x(t)
sabendo que:

[latex]\frac {d^2x}{dt^2} = 3\\ v(0) = 1 \\x(0) = 1 [/latex]

Minha dúvida é como começar, eu vi vários vídeos mas não ensina a integrar derivada nesse tipo.
Nesse caso como é uma derivada '' tenho que integrar 2x?
Pelo que eu entendi, se foi derivada 2x esse valor deveria representar a aceleração não ?
as primeiras eu entendi a lógica e consegui fazer:
mas dps xD

[latex] \frac {dx}{dt} = 2t-1\\x(0) = 2 \\ \int 2t-1 = t^2-t+c \\ f(0)=2 = \\ 0^2 + 0 + c = 2 \\ c=2 \\ = t^2-t+2 [/latex]

por **Elcioschin** Qua 15 Nov 2023, 11:32

Para a derivada segunda ser uma constante, x(t) é uma função do 2º grau

x(t) = a.t² + b.t + c

x(0) = 1 ---> 1 = a.0² + b.0 + c ---> c = 1

x'(t) = 2.a.t + b ---> v(t) = 2.at + b ---> v(0) = 1 ---> 1 = 2.a.0 + b ---> b = 1

x"(t) = 2.a ---> 3 = 2.a ---> a = 3/2

x(t) = (3/2).t² + t + 1

por ReplayBr Qua 15 Nov 2023, 11:37

Elcioschin escreveu:Para a derivada segunda ser uma constante, x(t) é uma função do 2º grau

x(t) = a.t² + b.t + c

x(0) = 1 ---> 1 = a.0² + b.0 + c ---> c = 1

x'(t) = 2.a.t + b ---> v(t) = 2.at + b ---> v(0) = 1 ---> 1 = 2.a.0 + b ---> b = 1

x"(t) = 2.a ---> 3 = 2.a ---> a = 3/2

x(t) = (3/2).t² + t + 1

Mestre acho que sou ansioso kkk, consegui fazer aqui.

Mas não sei se foi do jeito certo, eu fiz integrando 1 vez, e adicionando +1 de constante que veio do (v) = 1, e dps eu integrei e adicionei a que veio do (x) = 1

Pelo que eu entendi, quando eu integrei eu estou pegando a velocidade e depois a posição, certo ?

por ReplayBr Qua 15 Nov 2023, 11:44

Calculo da Posição usando integral Image27

Eu segui essa "lógica", mas acho que apesar do resultado bater está errado hehe.
x = t na verdade hehe

por **Giovana Martins** Qua 15 Nov 2023, 11:57

O que você fez está correto. O que você tem é uma equação diferencial. As igualdades v(0) = 1 e x(0) = 1 são chamadas de condições de contorno, que são justamente utilizadas para encontrar as constantes provenientes das integrações que fazemos ao longo da resolução.

Do jeito que o Élcio fez é um pouquinho mais rápido.

[latex]\\\mathrm{Derivada\ de\ 2^a\ ordem\ constante,logo,x(t)=at^2+bt+c}\\\\ \mathrm{\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=2at+b\ \therefore\ \frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left ( \frac{dx(t)}{dt} \right )=\frac{d}{dt}(2at+b)=2a}\\\\ \mathrm{Sendo\ \frac{d^2x(t)}{dt^2}=3,logo,2a=3\ \therefore\ a=\frac{3}{2}}\\\\ \mathrm{Voltando\ em\ v(t)=2at+b\ \therefore\ v(t)=3t+b.\ Do\ enunciado:v(0)=1}\\\\ \mathrm{\therefore\ 1=3\times 0+b, o\ que\ acarreta\ b=1\ tal\ que\ v(t)=3t+1}\\\\ \mathrm{Dado\ que\ (a,b)=\left ( \frac{3}{2},1 \right ),tem-se\ x(t)=\frac{3}{2}t^2+t+c.\ Do\ enunciado\ x(0)=1}\\\\ \mathrm{\therefore\ 1=\frac{3}{2}\times 0^2+0+c,o\ que\ acarreta\ c=1\ tal\ que\ x(t)=\frac{3}{2}t^2+t+1}[/latex]