Progressão Geométrica

Divide-se um segmento de comprimento m em 3 partes iguais e retira-se a parte central. Para cada um dos segmentos restantes repete-se o processo, retirando-se as partes centrais, e assim sucessivamente. A soma dos comprimentos retirados vale:

RE:3

Vamos supor que o comprimento inicial seja m.
Se nós cortarmos m em três partes, cada parte será m/3.
E se ele tirar uma das três partes, o total será 3m/3 - m/3 = 2m/3.
Ótimo.

Agora ele vai pegar cada uma das duas partes restantes e dividir em três.
Então cada nova parte vai ser (m/3 / 3) = m/9
E ele vai tirar duas das seis partes. O total será 6m/9 - 2m/9 = 4m/9

Vamos colocar isso numa sequência...
(m, 2m/3, 4m/9, ...)
2m/3 = Lq -> q = 2/3
4m/9 = Lq² -> q² = 4/9 -> q = 2/3
4m/9 = 2L/3q -> q = 2/3
(Como eu sou meio desconfiada, fiz as contas três vezes. =P)

Agora, é só usarmos a fórmula de soma de P.G. infinitas. Porque eu não sei se você reparou, mas sempre vamos dividir e nunca vamos chegar ao final.
Sinfinita = a1 / (1 - q) = m / (1 - 2/3) = m / (1/3) = 3m

Bom, o meu resultado não eliminou m. Mas espero ter conseguido te ajudar mesmo assim. ^_^

Eu também não consegui eliminar o m.

Eu vi em alguns sites e eu achei as respostas tão desconexas que nem as postei aqui...
De qualquer modo, vou continuar pesquisando.
Acredito que a resposta seja 3m mesmo.

Agente Esteves escreveu:Eu vi em alguns sites e eu achei as respostas tão desconexas que nem as postei aqui...
De qualquer modo, vou continuar pesquisando.
Acredito que a resposta seja 3m mesmo.

O raciocínio está perfeito,porém, só faltou observar que é pra somar somente os segmentos retirados. Logo, o m inicial, fica de fora. Agora o resto esta perfeito.
Realmente forma uma P.G infinita, cuja razão é 2/3 e a_1= (2/3)m
{2 over 3}m+{4 over 9}m+{8 over 27}m+{16 over 81}m+ ...
Coloquei no Wolfram...Veja a resposta:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B2+over+3%7Dm%2B%7B4+over+9%7Dm%2B%7B8+over+27%7Dm%2B%7B16+over+81%7Dm%2B+...

Desculpe...delete o que disse anteriormente...refiz, e observei que os pedaços retirados que são o segredo da questão. {m over 3}+{2m over 9}+{4m over 27}+{8m over 81}+ ...Pode acreditar, o somatório, o limite dessa questão quando tende para o infinito é m. 
A solução no Wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bm+over+3%7D%2B%7B2m+over+9%7D%2B%7B4m+over+27%7D%2B%7B8m+over+81%7D%2B+...

O raciocínio está errado no início,Pois a questão quer a soma das partes retiradas. A resposta é: M/2.
Como M é o total M/3  e a primeira parte retirada e outras partes centrais estão numa PG de razão 1/3  S=m/3*[1/(1-1/3) ] =M/2