(AREF) Distância mínima - resolução por derivadas

por Zeroberto Ter 18 Jul 2023, 14:45

A reta r de equaçao 3x - 4y +12 = 0 divide o plano cartesiano em dois semiplanos. Num desses semiplanos temos os pontos A(2; 3) e B(7; 2). Determine um ponto P da reta r tal que a soma \(\delta _{AP} + \delta _{PB}\) seja mínima.

(AREF) Distância mínima - resolução por derivadas Aref_d10

Gab: P (\(\frac{56}{31} ; \frac{257}{31} \))

Essa questão foi resolvida de outro modo no aref, porém o livro menciona que esse problema poderia ser resolvido com o auxílio de derivadas, mas não traz essa resolução. Poderiam mostrar como é essa reslolução?

por **Giovana Martins** Ter 18 Jul 2023, 16:52

Eu omiti alguns passos, pois eu estou partindo do princípio de que você já sabe derivadas. Se você não souber ou não entender algo, por favor, avise.

Seja P(x ; 0,75.x+3).

d²(A,P) = (2 - x)² + (3 - 0,75.x -3)² = 0,5625.x² + (2 - x)²

Note que o quadrado da distância AP varia em função de x, logo, d²(A,P) = f(x). Para encontrar o mínimo ou máximo de f(x) basta diferenciar f(x) em relação à variável x. Deste modo:

f'(x) = 3,125.x - 4, logo, f'(x) = 0 acarreta xmáx = 32/25 e ymáx = 36/25.

Então, d(A,P) = (36/25)½ = 6/5.

Faça o mesmo para d(B,P) e some as coordenadas.

Você pode partir de d²(B,P) = (7 - x)² + (2 - 0,75x -3)².

Se houver dúvidas, avise.

por Zeroberto Ter 18 Jul 2023, 19:30

Giovana Martins escreveu:
f'(x) = 3,125x - 4, logo, f'(x) = 0 acarreta xmáx = 32/25 e ymáx = 36/25.

Olá, Giovana! Muito obrigado pela ajuda, entendi perfeitamente os passos. Está dando um contaral gigantesco hahaha. Era pra esse contaral estar acontecendo? Fora isso, entendi perfeitamente todos os passos.
A não ser nessa parte que destaquei. Por que esse ponto é o máximo e não o mínimo?

por **Giovana Martins** Sex 21 Jul 2023, 17:20

por **Giovana Martins** Sex 21 Jul 2023, 17:27

Roberto, primeiramente, desculpe a demora Razz

.

De início, acredito que a abscissa do seu gabarito esteja errada, pois ao substituir os valores do seu gabarito na reta r note que a igualdade não é verificada, isto é, o ponto que consta no seu gabarito não pertence à reta r.

Segundo: ignore tudo o que eu disse na minha primeira postagem.

Terceiro: do cálculo do ponto crítico, isto é, x = 56/31 até a conclusão de que este ponto é um ponto de mínimo, e não de máximo, eu omiti o estudo do sinal da primeira derivada pois daria um pouquinho de trabalho e me bateu uma preguicinha de tentar mexer nisso no momento, mas se você quiser eu posso fazer.

O estudo do sinal da primeira derivada advém do Critério da Primeira Derivada. Ele serve para você concluir se o ponto crítico que você encontrou é um ponto de mínimo ou de máximo, mas como você pediu uma resolução via derivadas, parto do princípio de que você tenha o conhecimento desta etapa.

Outra coisa, eu também omiti o cálculo da derivada em si. Ela não é muito complicada. Apenas utilizei a Regra da Cadeia, pois acho mais fácil assim.

Bom, estas são as minhas considerações. Se você quiser que eu desenvolva mais os cálculos é só falar.

A real é que eu acho que esta questão era para ser feita utilizando conceitos do ensino médio mesmo, pois ao utilizar derivadas os cálculos são meio chatinhos de serem feitos.

por Zeroberto Sex 21 Jul 2023, 17:42

Olá, Giovana!
Primeiramente, muitíssimo grato por todas as considerações e cálculos sobre a questão. Entendi perfeitamente as etapas.

Quanto ao gabarito, deve ser mais um daqueles vários erros do livro do Aref. Infelizmente esses vários erros confundem todas as nossas respostas.

Assim como você disse, a questão era pra ser resolvida usando os elementos do ensino médio mesmo. Embora a resolução proposta pelo Aref seja trabalhosa nas contas, pensei que a resolução por derivadas iria ser mais rápida (como quando já esbarrei em outros exercícios com uma resolução proposta por derivadas, as quais continham menos cálculos), mas é bem chatinha nas contas.

Mais uma vez, muito obrigado por toda a ajuda, Giovana!

por **Giovana Martins** Sex 21 Jul 2023, 17:54

ZEROBERTO26 escreveu:
Olá, Giovana!
Primeiramente, muitíssimo grato por todas as considerações e cálculos sobre a questão. Entendi perfeitamente as etapas.

Quanto ao gabarito, deve ser mais um daqueles vários erros do livro do Aref. Infelizmente esses vários erros confundem todas as nossas respostas.

Assim como você disse, a questão era pra ser resolvida usando os elementos do ensino médio mesmo. Embora a resolução proposta pelo Aref seja trabalhosa nas contas, pensei que a resolução por derivadas iria ser mais rápida (como quando já esbarrei em outros exercícios com uma resolução proposta por derivadas, as quais continham menos cálculos), mas é bem chatinha nas contas.

Mais uma vez, muito obrigado por toda a ajuda, Giovana!

Disponha. Nem sempre as derivadas ajudam quando se trata de economizar nas continhas. Essas derivadas com raízes geralmente dão muita conta mesmo, porque não é muito fácil de simplificar as raízes.

Eu não tentei fazer sem utilizar derivadas, mas acredito que seja mais fácil/rápido, porque por derivadas deu um montão de contas. Não parece que deu muita conta, porque eu só fui colocando os resultados finais, mas se for desenvolver tudo essa conta vai longe kkkk.