UTFPR 2009 - números complexos

por FelipeReis40 Sex 26 maio 2023, 17:36

o valor de [latex]\left (\frac{1 - i}{1 + i} \right )^{2009}[/latex] é:
A)-i
B) i
C)-1
D)Inderterminado
Gabarito Letra A
O que eu fiz foi tentar ver um padrão, que seria [latex]\left (\frac{1 - i}{1 + i} \right )[/latex], -1, [latex]\left (\frac{-1 + i}{1 + i} \right )[/latex],1,[latex]\left (\frac{1 - i}{1 + i} \right )[/latex]... Se repetindo a partir daí, que daria na letra C)-1

por Fibonacci13 Sex 26 maio 2023, 18:07

Olá, Felipe.

[latex](\frac{1-i}{1+i})^{2009}[/latex]

Simplificando:

[latex](\frac{1-i}{1+i})=-i[/latex]

[latex](-i)^{2009}[/latex]

[latex](-i)^{2009}=(-i)^{2008}.i[/latex]

Simplificando:

[latex](i)^{2008}=(-1)^{1004}[/latex]

[latex]-(-1)^{1004}i=-i[/latex]

por **Elcioschin** Sex 26 maio 2023, 18:11

Apenas complementando:

1 - i ..... (1 - i).(1 - i) .... 1 - 2.i + i² .... 1 - 2.i - 1
------ = ---------------- = ------------- = ----------- = - i
1 + i .... (1 + i).(1 - i) ....... 1 - i² ......... 1 - (-1)

(-i)²⁰⁰⁹ = ?

Lembre-se que:

(- i)² = - 1 ---> (- i)⁴ = 1 ---> (-i)²⁰⁰⁸ = [(-i)⁴]⁵⁰² = 1⁵⁰² = 1

(- i)²⁰⁰⁹ = (- i)²⁰⁰⁸.(- i)¹ = 1.(- i) = - i