(UFPR-2009) - complexos e polinômios

Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 - i, sendo i = a unidade imaginaria.
a) Escreva os números z³ e z⁴ na forma x + iy.
b) Sabendo que z, z e 2 são raízes do polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c, calcule os valores de a, b e c.

Olá,

temos: Z1 = 1 + i e Z2 = 1 - i

a) |Z1| = \/2

Z1³ = |Z1|³*(cos a + i*sen a )

cos â = 1/\/2 => cos â = \/2 /2

sen â = 1/\/2 => sen â = \/2 /2

â = pi/4

assim:

Z1³ = (\/2)³ *( cos (3*pi/4) + i*sen (3*pi/4) => Z1³ = 2*\/2*( \/2 /2 + i*\/2 /2 )

= 2*\/2 *\/2 /2 + 2*\/2*\/2 /2 = 2 + 2*i


|Z2| = \/2

cos ê = \/2 /2

sen ê = - \/2 /2

ê = 7*pi/4

Z2^4 = (\/2)^4 *( cos (4*7*pi/4) + i*sen (4*7*pi/4) => Z2^4 =

= 4*( cos 7*pi + i*sen 7*pi = 4*(- 1) + 4*i*0 = - 4


b) P(x) = x³ + a*x² + b*x + c

Z1, Z2, 2 -> raízes

então:

(1+i)*(1-i)*2 = - c => - c = 4 => c = - 4

(1+i)+(1-i)+2 = - a => a = - 4

(1+i)*(1-i) + (1+i)*2 + (1-i)*2 = b => [b]b = 6

então: P(x) = x³ - 4*x² + 6*x - 4