R3: Achar o ponto simétrico em relação ao plano dado
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R3: Achar o ponto simétrico em relação ao plano dado
por Lucas_DN684 Qui 25 maio 2023, 19:54
Achar o ponto N, projeção ortogonal do ponto P(3,−1,−4) no plano determinado pelos pontos A(2, −2, 3), B(4, −3, −2) e C(0, −4, 5). Qual é o ponto simétrico de P em relação a este plano?
O gabarito do meu material é (15/7,10/7,-9/14), mas além de não chegar neste resultado, encontrei respostas bastante divergentes na internet e gostaria que alguém corrigisse a minha resolução, por favor.
O plano determinado, denominado π, pelos 3 pontos dados, utilizando a condição de coplanaridade de 3 vetores [latex]\overrightarrow{QA}, \overrightarrow{QB} \[/latex] e [latex]\overrightarrow{QC}[/latex], sendo Q um ponto genérico deste plano, é:
[latex]\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ 2 & -2 & 3 &1 \\ 4 & -3 & -2 &1 \\ 0& -4 &5 &1 \end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow \pi :-2x+y-z+9=0[/latex]
Então, se o ponto N é projeção ortogonal do ponto P no plano π, o ponto N é a interseção da reta ortogonal ao plano π que passa no ponto P. Nesse sentido, esta reta, denominada r, tem direção do vetor normal, denominado n, ao plano π e passa no ponto P. Logo, podemos escrever as equações de r como:
[latex]r=P +\vec{n}t\Leftrightarrow r:\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+4}{-1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{x-3}{2}-1\\ z=\frac{x-3}{2}-4\end{matrix}\right.[/latex]
E da interseção da reta r com o plano π vem:
[latex]\left\{\begin{matrix} y=\frac{x-3}{2}-1\\ z=\frac{x-3}{2}-4 \\ -2x+y-z+9=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( 5,-2,-3 \right )[/latex]
Mas se o ponto solicitado, chamemos P', é simétrico de P em relação ao plano π e pertence à reta r, então N é o ponto médio do segmento P'P, donde:
[latex]\left ( \frac{x+3}{2},\frac{y-1}{2},\frac{z-4}{2} \right )=\left ( 5,-2,-3 \right )\Leftrightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( 7,-3,-2 \right )[/latex]
Que é P', resposta a qual gostaria que fosse avaliada.
O gabarito do meu material é (15/7,10/7,-9/14), mas além de não chegar neste resultado, encontrei respostas bastante divergentes na internet e gostaria que alguém corrigisse a minha resolução, por favor.
O plano determinado, denominado π, pelos 3 pontos dados, utilizando a condição de coplanaridade de 3 vetores [latex]\overrightarrow{QA}, \overrightarrow{QB} \[/latex] e [latex]\overrightarrow{QC}[/latex], sendo Q um ponto genérico deste plano, é:
[latex]\begin{vmatrix} x & y & z & 1\\ 2 & -2 & 3 &1 \\ 4 & -3 & -2 &1 \\ 0& -4 &5 &1 \end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow \pi :-2x+y-z+9=0[/latex]
Então, se o ponto N é projeção ortogonal do ponto P no plano π, o ponto N é a interseção da reta ortogonal ao plano π que passa no ponto P. Nesse sentido, esta reta, denominada r, tem direção do vetor normal, denominado n, ao plano π e passa no ponto P. Logo, podemos escrever as equações de r como:
[latex]r=P +\vec{n}t\Leftrightarrow r:\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+4}{-1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{x-3}{2}-1\\ z=\frac{x-3}{2}-4\end{matrix}\right.[/latex]
E da interseção da reta r com o plano π vem:
[latex]\left\{\begin{matrix} y=\frac{x-3}{2}-1\\ z=\frac{x-3}{2}-4 \\ -2x+y-z+9=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( 5,-2,-3 \right )[/latex]
Mas se o ponto solicitado, chamemos P', é simétrico de P em relação ao plano π e pertence à reta r, então N é o ponto médio do segmento P'P, donde:
[latex]\left ( \frac{x+3}{2},\frac{y-1}{2},\frac{z-4}{2} \right )=\left ( 5,-2,-3 \right )\Leftrightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( 7,-3,-2 \right )[/latex]
Que é P', resposta a qual gostaria que fosse avaliada.
Lucas_DN684- Fera
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