(Gelson Iezzi) Funções Trigonométricas

por PL1ns Sáb 22 Abr 2023, 22:29

a questão pede a variação da função, mas a minha dúvida é com o desenvolvimento

Encontre a variação das funções g(x) e h(x).

[latex]g(x)= 8sen^{2}x. cos^{2}x[/latex]

e

[latex]h(x)=cos^{4}x + sen^{4}x[/latex]

por **Giovana Martins** Sáb 22 Abr 2023, 23:02

Peço que confira, por gentileza, as contas. Fiz por aqui mesmo, sem rascunhar no papel.

Item I:

Identidade trigonométrica: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Sendo g(x) = 8sin²(x)cos²(x), vem:

g(x) = 8sin²(x)cos²(x) = [2√2sin(x)cos(x)]² = [√2sin(2x)]² = 2sin²(2x)

É sabido que - 1 ≤ sin(θ) ≤ 1 e que, portanto, 0 ≤ sin²(θ) ≤ 1.

Fazendo θ = 2x, vem: 0 ≤ sin²(2x) ≤ 1.

Manipulando a desigualdade, tem-se: 0 ≤ 2sin²(2x) ≤ 2.

Deste modo, 0 ≤ g(x) ≤ 2.

Concluímos então que D(g) = ℝ e Im(g) = {g(x) ∈ ℝ | 0 ≤ g(x) ≤ 2} = [0,2].

Para encontrar o período da função g(x), utilizarei a seguinte identidade trigonométrica:

sin²(θ/2) = [1 - cos(θ)]/2

Fazendo θ = 4x, vem: sin²(2x) = [1 - cos(4x)]/2

Partindo-se de g(x) = 2sin²(2x), tem-se: g(x) = 1 - cos(4x).

Uma função trigonométrica padrão do tipo cosseno é dada por p(x) = a + bcos(cx + d), tal que P = 2∏/|c|, sendo P o período da função trigonométrica.

Neste caso, portanto, o período de g(x) é dado por: P = 2∏/|4| = ∏/2.

Gráfico de g(x) para melhor entendimento:

(Gelson Iezzi) Funções Trigonométricas MZOlzVApAAAAAElFTkSuQmCC

Item II:

h(x) = sin⁴(x) + cos⁴(x)

h(x) = [sin²(x) + cos²(x)]² - 2sin²(x)cos²(x)

h(x) = 1 - (1/2)sin²(2x)

Novamente, é sabido que 0 ≤ sin²(2x) ≤ 1.

Manipulando a desigualdade, vem:

0 ≤ (1/2)sin²(2x) ≤ 1/2

- 1/2 ≤ - (1/2)sin²(2x) ≤ 0

Somando uma unidade em todos os "membros" da desigualdade, vem:

1/2 ≤ 1 - (1/2)sin²(2x) ≤ 1

O que implica 1/2 ≤ h(x) ≤ 1.

Concluímos então que D(h) = ℝ e Im(h) = {h(x) ∈ ℝ | 1/2 ≤ h(x) ≤ 1} = [1/2,1].

Para encontrar o período da função h(x), utilizarei a seguinte identidade trigonométrica:

sin²(θ/2) = [1 - cos(θ)]/2

Fazendo θ = 4x, vem: sin²(2x) = [1 - cos(4x)]/2

Partindo-se de h(x) = 1 - (1/2)sin²(2x), vem:

h(x) = 1 - (1/2){[1 - cos(4x)]/2} = (3/4) + (1/4)cos(4x)

Uma função trigonométrica padrão do tipo cosseno é dada por p(x) = a + bcos(cx + d), tal que P = 2∏/|c|, sendo P o período da função trigonométrica.

Neste caso, portanto, o período de h(x) é dado por: P = 2∏/|4| = ∏/2.

Gráfico de h(x) para melhorar o entendimento:

(Gelson Iezzi) Funções Trigonométricas N4Jlom5vFMtEyi5QHEy8Q8nomWiXk8Ey2TP+bhEDMRERERSbBAJCIiIiIJFohEREREJMECkYiIiIgkWCASERERkQQLRCIiIiKSYIFIRERERBIsEImIiIhI4v8DtnDvy3XqVyUAAAAASUVORK5CYII=

por PL1ns Seg 24 Abr 2023, 08:24

entendi! muito obrigada Giovana

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