Igualdade de polinômios
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Igualdade de polinômios
por VANIR PERUFFO Seg 10 Abr 2023, 13:17
Boa tarde a todos. Uma questão da FUVEST tem o seguinte enunciado:
Se 3x^2 – 9x + 7 = (x-a)^3 – (x-b)^3 para todo número real x, o valor de a+b é:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 12
A resolução de um cursinho foi a seguinte: após desenvolver o segundo membro da equação acima, chega-se a:
3x^2 – 9x + 7 = (3b-3a)x^2 + (3a^2 – 3b^2)x – a^3 + b^3
Até aqui, tudo bem. Mas aqui, a resolução iguala os coeficientes obtendo-se um sistema de 3 equações:
3 = 3b – 3a
9 = 3a^2 – 3b^2
7 = -a^3 + b^3
Resolvendo-se o sistema: a = 1, b = 2 e a+b=3 (resposta a).
A dúvida é: se em uma equação o primeiro membro é um polinômio de grau 2 e o segundo é outro polinômio de grau 2, isso não significa que os coeficientes do primeiro sejam iguais aos do segundo. E não há nada no enunciado que permita assumir isso. Então está correta esta resolução?
Se 3x^2 – 9x + 7 = (x-a)^3 – (x-b)^3 para todo número real x, o valor de a+b é:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 12
A resolução de um cursinho foi a seguinte: após desenvolver o segundo membro da equação acima, chega-se a:
3x^2 – 9x + 7 = (3b-3a)x^2 + (3a^2 – 3b^2)x – a^3 + b^3
Até aqui, tudo bem. Mas aqui, a resolução iguala os coeficientes obtendo-se um sistema de 3 equações:
3 = 3b – 3a
9 = 3a^2 – 3b^2
7 = -a^3 + b^3
Resolvendo-se o sistema: a = 1, b = 2 e a+b=3 (resposta a).
A dúvida é: se em uma equação o primeiro membro é um polinômio de grau 2 e o segundo é outro polinômio de grau 2, isso não significa que os coeficientes do primeiro sejam iguais aos do segundo. E não há nada no enunciado que permita assumir isso. Então está correta esta resolução?
VANIR PERUFFO- Iniciante
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Re: Igualdade de polinômios
por Elcioschin Seg 10 Abr 2023, 14:18
Para dois polinômios serem iguais:
1) Eles devem ter o mesmo grau (nesta questão são do 2º grau)
2) Os coeficientes de mesmo grau de ambos tem que ser iguais (grau 2, grau 1 e grau 0)
Se isto não acontece, os dois NÃO serão iguais!
1) Eles devem ter o mesmo grau (nesta questão são do 2º grau)
2) Os coeficientes de mesmo grau de ambos tem que ser iguais (grau 2, grau 1 e grau 0)
Se isto não acontece, os dois NÃO serão iguais!
Elcioschin- Grande Mestre
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Jvictors021 gosta desta mensagem
Igualdade de polinômios
por VANIR PERUFFO Ter 11 Abr 2023, 09:57
Na igualdade x^2 - 2x + 1 = -x^2 + 4x -3 (por exemplo) temos 2 polinômios de grau 2 com coeficientes diferentes. Porém, essa igualdade não é válida para todo x real, apenas para x=1 e x=2 (raízes). E o enunciado diz "para todo x real". Esse detalhe eu não havia percebido.
VANIR PERUFFO- Iniciante
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