(SAS 2019.1) Geometria Espacial

Uma empresa está arquitetando a criação de um jogo de tabuleiro no qual será fundamental um novo tipo de dado. Para criar esse dado, é necessário cortar os vértices de um cubo e, em cada face resultante, colocar o respectivo número de vértices dela. Qual é o maior valor possível para a soma de todos os números que compõem esse dado?  

a) 80.  
b) 72.  
c) 56.  
d) 48.
e) 24.

Resposta:

Dúvida: Cheguei a 48 multiplicando as 6 faces do cubo com os 8 vértices do octógono em cada uma delas, mas aparentemente são considerados os vértices dos triângulos removidos (8 cantos * 3 vértices triangulares = 24). No entanto, em que essas peças removidas constam nesse dado pra serem somadas?

Para encontrar a resposta, observe que cada face de um cubo tem 4 vértices e o dado terá 6 faces. Portanto, o dado terá um total de 24 vértices. Para cada vértice do cubo, será cortada uma aresta que o conecta a outros três vértices. Assim, em cada face resultante do cubo, haverá 3 vértices. Portanto, a soma de todos os números que compõem o dado será igual a 3 vezes o número de faces, ou seja, 18.


Agora, precisamos determinar como distribuir esses 18 pontos nas faces do dado. Para maximizar a soma, colocaremos os números maiores nas faces opostas. Assim, as faces opostas terão os seguintes números: 7 e 6, 5 e 4, 3 e 2. Como a soma dos números em cada face deve ser igual a 18 dividido pelo número de faces (ou seja, 3), podemos determinar os outros números a partir desses. Por exemplo, se a face oposta a 7 tiver o número 1, então a face oposta a 6 deve ter o número 2 (para que a soma seja 3), e a face oposta a 5 deve ter o número 3 (para que a soma seja 3).


Com essa distribuição, os números nas faces do dado serão: 7, 1, 6, 2, 5, 3, 4, 4, 3, 5, 2, 6, 1, 7, 7, 1, 6, 2.
A soma de todos esses números é 72, então a resposta correta é a letra b) 72.


Ao cortar os vértices do cubo para formar o dado, as peças removidas (os oito triângulos) não fazem parte das faces do dado. Portanto, seus vértices não são contados para determinar a soma dos números que compõem o dado.


Para encontrar a soma dos números que compõem o dado, é necessário considerar apenas os vértices que estão nas faces do dado. Como mencionado anteriormente, existem 24 vértices nas faces do dado, cada um com um número associado. A soma de todos esses números é igual a 3 vezes o número de faces do dado (18), o que resulta em uma soma total de 54.


No entanto, nem todas as faces do dado têm o mesmo número de vértices, então a distribuição de números nas faces do dado não é uniforme. Para encontrar a distribuição correta dos números nas faces do dado, é necessário levar em consideração a restrição de que a soma dos números em cada face deve ser igual a 3. Com essa restrição, a distribuição de números nas faces do dado resulta em uma soma total de 72, como explicado anteriormente.