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AFA 2019 - Geometria Analítica

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Resolvido AFA 2019 - Geometria Analítica

Mensagem por axell13 Seg 25 Jun 2018, 11:42

Considere no plano cartesiano os pontos A(2, 0) e B(6, -4) que são simétricos em relação à reta r.
Se essa reta r determina na circunferência x² + y² -12x -4y + 32 = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo

a) [4, 5[
b) [3, 4[
a) [2, 3[
b) [1, 2[

Gabarito: a


Última edição por axell13 em Seg 25 Jun 2018, 18:18, editado 8 vez(es)
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Resolvido Re: AFA 2019 - Geometria Analítica

Mensagem por Emersonsouza Seg 25 Jun 2018, 16:04

Se A e B sao simétricos em relaçao à r,a distância de A ate r é a mesma de B até r e a reta AB é perpendicular à r.
Portanto o ponto médio que está em r é  Mx=6+2/2 --> Mx=4 e My= -4 +0/2--> My= -2 
AB⊥ r --> o produto entre seus coeficientes angulares é -1 .
seja mAB o coeficiente angular de AB e mr o coeficiente angular de r.
mAB= ∆y/∆x --> mAB= (2-6)/(0-(-4))--> mAB= -1 
Assim mr=1
Pela equação geral da reta r temos que 
(X-Mx)*mr=y-My --> x-4=y-(-2)--> x-y-6= 0 --> equaçao da reta r .
 Da  a circunferência tiramos os seguintes dados  
Centro--> (6,2)
r^2=- 6^2 -2^2  +32 --> r= 2V2
A distância entre o centro da circunferência e a corda ( um seguimento de  r ) pode ser calculada por d=| x-y-6|/ V2 .
Substituindo x e y ,pelas cordenadas do centro temos  d= V2
Como r>d --> isso significa que  r é secante a circunferência dada (conforme dito na questão)
Observe a figura :
AFA 2019 - Geometria Analítica 15299510

Os dois triângulos retângulos são congruentes , aplicando Pitágoras temos :
X^2=8-2--> x= V6 --> metada da medida da corda 
Assim a medida integral da corda é 2V6 ≈ 5 .
Portanto,a medida da corda está entre 4 e 5.
Bom, espero ter ajudado!!
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Resolvido Re: AFA 2019 - Geometria Analítica

Mensagem por axell13 Seg 25 Jun 2018, 16:43

Ajudou sim, muito obrigado. Com a sua solução consegui desencadear a que eu pretendia fazer:

A(2, 0) e B(6, -4)

Coeficiente angular da reta AB:
m_0 = ∆y / ∆x
m_0 = 4 / - 4 = -1

Seja a reta r: y = ax + b

Como r ⊥ AB --> a  = - 1 / m_0 = 1

Então r: y = x + b

Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.

M = (4, -2)

-2 = 4 + b --> b = -6

Portanto r: y = x - 6

Isolando x --> x = y + 6

Equação da circunferência: x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0

A própria questão e as alternativas mostram que a corda é secante à circunferência, então pode-se admitir que existem dois pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência e suas coordenadas devem satisfazer tanto a equação da circunferência como a da reta:

x = y + 6 (I)

x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0 (II)

Substituindo I em II:

(y + 6)² + y² - 12(y + 6) - 4y + 32 = 0

y² + 12y + 36 + y² - 12y - 72 - 4y + 32 = 0

2y² - 4y - 4 = 0

y² - 2y - 2 = 0

y = 1 ± √3 (Esses dois valores de y são as ordenadas dos dois pontos onde a reta intersecta a circunferência)

Voltando na equação x = y + 6, para y = 1 + √3, temos x = 7 + √3.
Para y = 1 - √3, temos x = 7 - √3.

Portanto os dois pontos onde a reta intersecta a circunferência são (7 + √3, 1 + √3) e (7 - √3, 1 - √3)

A distância entre eles é o comprimento da corda:

d = √( (∆x)² + (∆y)² )

d = √( (2√3)² + (2√3)² )

d = √( 12 + 12 )

d = √24 = √(4 * 6) = 2√6

Como d > 4, resposta: a)

Situação real da questão:

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Resolvido Re: AFA 2019 - Geometria Analítica

Mensagem por Mairacarvalho16 Qua 24 Out 2018, 14:39

"A(2, 0) e B(6, -4)

Coeficiente angular da reta AB:
m_0 = ∆y / ∆x
m_0 = 4 / - 4 = -1

Seja a reta r: y = ax + b

Como r ⊥ AB --> a  = - 1 / m_0 = 1

Então r: y = x + b

Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.

M = (4, -2)"


Fiz do mesmo jeito até aqui, porém estou errando na equação da reta e não sei o porquê.
Estou fazendo y-yo = mr(x-xo). 
y-4= 1(x+2)        (ponto médio)
y = x + 6.
O que há de errado na forma que fiz para não encontrar a equação correta?
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Resolvido Re: AFA 2019 - Geometria Analítica

Mensagem por Elcioschin Qua 24 Out 2018, 19:14

Você calculou certo até mr = 1 e r: y = x + b

Passa por M(4, -2) ---> - 2 = 4 + b ---> b = - 6 ---> Reta r: y = x - 6
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