AFA 2019 - Geometria Analítica
4 participantes
Página 1 de 1
AFA 2019 - Geometria Analítica
Considere no plano cartesiano os pontos A(2, 0) e B(6, -4) que são simétricos em relação à reta r.
Se essa reta r determina na circunferência x² + y² -12x -4y + 32 = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo
a) [4, 5[
b) [3, 4[
a) [2, 3[
b) [1, 2[
Gabarito: a
Se essa reta r determina na circunferência x² + y² -12x -4y + 32 = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo
a) [4, 5[
b) [3, 4[
a) [2, 3[
b) [1, 2[
Gabarito: a
Última edição por axell13 em Seg 25 Jun 2018, 18:18, editado 8 vez(es)
axell13- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 164
Data de inscrição : 21/06/2015
Idade : 24
Localização : Santa Luzia, MG, Brazil
Re: AFA 2019 - Geometria Analítica
Se A e B sao simétricos em relaçao à r,a distância de A ate r é a mesma de B até r e a reta AB é perpendicular à r.
Portanto o ponto médio que está em r é Mx=6+2/2 --> Mx=4 e My= -4 +0/2--> My= -2
AB⊥ r --> o produto entre seus coeficientes angulares é -1 .
seja mAB o coeficiente angular de AB e mr o coeficiente angular de r.
mAB= ∆y/∆x --> mAB= (2-6)/(0-(-4))--> mAB= -1
Assim mr=1
Pela equação geral da reta r temos que
(X-Mx)*mr=y-My --> x-4=y-(-2)--> x-y-6= 0 --> equaçao da reta r .
Da a circunferência tiramos os seguintes dados
Centro--> (6,2)
r^2=- 6^2 -2^2 +32 --> r= 2V2
A distância entre o centro da circunferência e a corda ( um seguimento de r ) pode ser calculada por d=| x-y-6|/ V2 .
Substituindo x e y ,pelas cordenadas do centro temos d= V2
Como r>d --> isso significa que r é secante a circunferência dada (conforme dito na questão)
Observe a figura :
Os dois triângulos retângulos são congruentes , aplicando Pitágoras temos :
X^2=8-2--> x= V6 --> metada da medida da corda
Assim a medida integral da corda é 2V6 ≈ 5 .
Portanto,a medida da corda está entre 4 e 5.
Bom, espero ter ajudado!!
Portanto o ponto médio que está em r é Mx=6+2/2 --> Mx=4 e My= -4 +0/2--> My= -2
AB⊥ r --> o produto entre seus coeficientes angulares é -1 .
seja mAB o coeficiente angular de AB e mr o coeficiente angular de r.
mAB= ∆y/∆x --> mAB= (2-6)/(0-(-4))--> mAB= -1
Assim mr=1
Pela equação geral da reta r temos que
(X-Mx)*mr=y-My --> x-4=y-(-2)--> x-y-6= 0 --> equaçao da reta r .
Da a circunferência tiramos os seguintes dados
Centro--> (6,2)
r^2=- 6^2 -2^2 +32 --> r= 2V2
A distância entre o centro da circunferência e a corda ( um seguimento de r ) pode ser calculada por d=| x-y-6|/ V2 .
Substituindo x e y ,pelas cordenadas do centro temos d= V2
Como r>d --> isso significa que r é secante a circunferência dada (conforme dito na questão)
Observe a figura :
Os dois triângulos retângulos são congruentes , aplicando Pitágoras temos :
X^2=8-2--> x= V6 --> metada da medida da corda
Assim a medida integral da corda é 2V6 ≈ 5 .
Portanto,a medida da corda está entre 4 e 5.
Bom, espero ter ajudado!!
Emersonsouza- Fera
- Mensagens : 1100
Data de inscrição : 14/01/2015
Idade : 28
Localização : Rio de Janeiro
Re: AFA 2019 - Geometria Analítica
Ajudou sim, muito obrigado. Com a sua solução consegui desencadear a que eu pretendia fazer:
A(2, 0) e B(6, -4)
Coeficiente angular da reta AB:
m_0 = ∆y / ∆x
m_0 = 4 / - 4 = -1
Seja a reta r: y = ax + b
Como r ⊥ AB --> a = - 1 / m_0 = 1
Então r: y = x + b
Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.
M = (4, -2)
-2 = 4 + b --> b = -6
Portanto r: y = x - 6
Isolando x --> x = y + 6
Equação da circunferência: x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0
A própria questão e as alternativas mostram que a corda é secante à circunferência, então pode-se admitir que existem dois pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência e suas coordenadas devem satisfazer tanto a equação da circunferência como a da reta:
x = y + 6 (I)
x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0 (II)
Substituindo I em II:
(y + 6)² + y² - 12(y + 6) - 4y + 32 = 0
y² + 12y + 36 + y² - 12y - 72 - 4y + 32 = 0
2y² - 4y - 4 = 0
y² - 2y - 2 = 0
y = 1 ± √3 (Esses dois valores de y são as ordenadas dos dois pontos onde a reta intersecta a circunferência)
Voltando na equação x = y + 6, para y = 1 + √3, temos x = 7 + √3.
Para y = 1 - √3, temos x = 7 - √3.
Portanto os dois pontos onde a reta intersecta a circunferência são (7 + √3, 1 + √3) e (7 - √3, 1 - √3)
A distância entre eles é o comprimento da corda:
d = √( (∆x)² + (∆y)² )
d = √( (2√3)² + (2√3)² )
d = √( 12 + 12 )
d = √24 = √(4 * 6) = 2√6
Como d > 4, resposta: a)
Situação real da questão:
A(2, 0) e B(6, -4)
Coeficiente angular da reta AB:
m_0 = ∆y / ∆x
m_0 = 4 / - 4 = -1
Seja a reta r: y = ax + b
Como r ⊥ AB --> a = - 1 / m_0 = 1
Então r: y = x + b
Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.
M = (4, -2)
-2 = 4 + b --> b = -6
Portanto r: y = x - 6
Isolando x --> x = y + 6
Equação da circunferência: x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0
A própria questão e as alternativas mostram que a corda é secante à circunferência, então pode-se admitir que existem dois pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência e suas coordenadas devem satisfazer tanto a equação da circunferência como a da reta:
x = y + 6 (I)
x² + y² - 12x - 4y + 32 = 0 (II)
Substituindo I em II:
(y + 6)² + y² - 12(y + 6) - 4y + 32 = 0
y² + 12y + 36 + y² - 12y - 72 - 4y + 32 = 0
2y² - 4y - 4 = 0
y² - 2y - 2 = 0
y = 1 ± √3 (Esses dois valores de y são as ordenadas dos dois pontos onde a reta intersecta a circunferência)
Voltando na equação x = y + 6, para y = 1 + √3, temos x = 7 + √3.
Para y = 1 - √3, temos x = 7 - √3.
Portanto os dois pontos onde a reta intersecta a circunferência são (7 + √3, 1 + √3) e (7 - √3, 1 - √3)
A distância entre eles é o comprimento da corda:
d = √( (∆x)² + (∆y)² )
d = √( (2√3)² + (2√3)² )
d = √( 12 + 12 )
d = √24 = √(4 * 6) = 2√6
Como d > 4, resposta: a)
Situação real da questão:
axell13- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 164
Data de inscrição : 21/06/2015
Idade : 24
Localização : Santa Luzia, MG, Brazil
Re: AFA 2019 - Geometria Analítica
"A(2, 0) e B(6, -4)
Coeficiente angular da reta AB:
m_0 = ∆y / ∆x
m_0 = 4 / - 4 = -1
Seja a reta r: y = ax + b
Como r ⊥ AB --> a = - 1 / m_0 = 1
Então r: y = x + b
Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.
M = (4, -2)"
Fiz do mesmo jeito até aqui, porém estou errando na equação da reta e não sei o porquê.
Estou fazendo y-yo = mr(x-xo).
y-4= 1(x+2) (ponto médio)
y = x + 6.
O que há de errado na forma que fiz para não encontrar a equação correta?
Coeficiente angular da reta AB:
m_0 = ∆y / ∆x
m_0 = 4 / - 4 = -1
Seja a reta r: y = ax + b
Como r ⊥ AB --> a = - 1 / m_0 = 1
Então r: y = x + b
Além disso, r passa pelo ponto médio M do segmento AB.
M = (4, -2)"
Fiz do mesmo jeito até aqui, porém estou errando na equação da reta e não sei o porquê.
Estou fazendo y-yo = mr(x-xo).
y-4= 1(x+2) (ponto médio)
y = x + 6.
O que há de errado na forma que fiz para não encontrar a equação correta?
Mairacarvalho16- Padawan
- Mensagens : 58
Data de inscrição : 03/02/2015
Idade : 25
Localização : Rio de Janeitro - RJ
Re: AFA 2019 - Geometria Analítica
Você calculou certo até mr = 1 e r: y = x + b
Passa por M(4, -2) ---> - 2 = 4 + b ---> b = - 6 ---> Reta r: y = x - 6
Passa por M(4, -2) ---> - 2 = 4 + b ---> b = - 6 ---> Reta r: y = x - 6
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Tópicos semelhantes
» (UP 2019) Q13 - Geometria Analítica
» (SAS 2019.1) Geometria Espacial
» (UFPR 2019) Q35 - Geometria Analítica
» CEFET-MG (2019) Geometria Plana
» (UFRGS 2019) Q40 - Geometria Plana
» (SAS 2019.1) Geometria Espacial
» (UFPR 2019) Q35 - Geometria Analítica
» CEFET-MG (2019) Geometria Plana
» (UFRGS 2019) Q40 - Geometria Plana
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos