Análise Combinatória

Quantas são as soluções inteiras positivas de [latex]x + y + z + w < 10[/latex]?

Alguém pode me ajudar por favor?
Eu pensei em fazer substituição de variável

[latex]x+y+z+w=t<10[/latex]
[latex]t=10-k[/latex], com [latex]k>0[/latex]

Então teria a equação [latex]x+y+z+w+k=10[/latex], onde [latex]x,y,z,w,k > 0[/latex]

Primeiro recordamos que o número de soluções inteiras de uma equação

\( x_1 + x_2 + \cdots + x_p = n\)

onde cada \(x_k \geq 0\)  é exatamente \( \displaystyle \binom {n+p-1}{p-1}\).


A sua ideia funciona, mas pra fazer uso do resultado acima, primeiro fazemos uma mudança de variável:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\tilde x = x -1\\
\tilde y = y - 1 \\
\tilde z = z- 1 \\
\tilde w = w-1
\end{array} \right.
\)
Assim, antes tinhamos desigualdade x+y+z+w  < 10, onde x,y,z,w ≥ 1. Agora temos a desigualdade

\(\tilde x + \tilde y + \tilde z + \tilde w < 6\)

onde cada uma das variáveis é maior ou igual a zero. Isso é necessário pois o resultado acima que enunciei calcula o número de soluções supondo que as variaveis podem ser zero. Pra finalizar, acrescentamos a variavel k como sendo 5  menos a soma das outras (pois queremos que k possa assumir o valor 0). Daí

\( \tilde x + \tilde y + \tilde z + \tilde w + k = 5 \)

o número de soluções dessas última equação é \( \displaystyle \binom {5+5-1}{5-1} = \binom{9}4 = \dfrac{9!}{4!5!} = 126\), portanto essa é a resposta.