Analise Combinatoria

um vagao de metro tem 8 bancos individuais, sendo 4 de frente e 4 de costas. de 8 passageiros, 3 preferem sentar de frente, 2 preferem sentar de costas e os demais nao tem preferencia. de quantos modos 8 passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferencias?
 
gabarito: 1728
obs: estou desconfiado de que o gabarito esta errado

A e B e C preferem de frente
M e N preferem de costas
R, S, T tanto faz

1) De frente

ABC_
AB_C
A_BC
_ABC

Para o banco vazio existem 3 possibilidades (R, S, T) ----> Total = 4.3 = 12

Existem 6 possibilidades com a ordem (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA)

Total = 6.12 = 72 possibilidades


2) De costas

M N _ _ 
M _ N _
M _ _ N
_ M N _
_ M _ N
_ _ M N

São 6 possibilidades com a ordem MN + 6 com a ordem NM ---> 12

Para os bancos vazios existem 2 possibilidades 

Total de possibilidades = 12.2 = 24

3) Total geral = 72.24 = 1728

Muito Obrigado, a postagem dupla nao foi intencional

Elcioschin escreveu:A e B e C preferem de frente
M e N preferem de costas
R, S, T tanto faz

1) De frente

ABC_
AB_C
A_BC
_ABC

Para o banco vazio existem 3 possibilidades (R, S, T) ----> Total = 4.3 = 12

Existem 6 possibilidades com a ordem (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA)

Total = 6.12 = 72 possibilidades


2) De costas

M N _ _ 
M _ N _
M _ _ N
_ M N _
_ M _ N
_ _ M N

São 6 possibilidades com a ordem MN + 6 com a ordem NM ---> 12

Para os bancos vazios existem 2 possibilidades 

Total de possibilidades = 12.2 = 24

3) Total geral = 72.24 = 1728

existe uma maneira de permutar esse lugare cheios e vazios sem fazer ''na mao''? Muitas vez me deparei com problemas em que isso era inviavel.

Hola guilhermepagoto.

Vc disse:.......... existe uma maneira de permutar esse lugares cheios e vazios sem fazer ''na mão''? Muitas vez me deparei com problemas em que isso era inviável.

A maneira como o Elcio fez é muito importante, pois vc tem a possibilidade de perceber o que acontece no desenvolvimento descrito pelo problema e não a aplicação pura e simples de fórmulas.

Vou ajudar, veja:


Os 3 que querem sentar-se de frente podem ocupar os seus 4 assentos de:

C(4,3)*P(3) = 4*3!= 4*6 = 24 formas diferentes.

Os 2 que querem sentar-se de costas podem ocupar os seus 4 assentos de:

 C(4,2)*P(2) =6*2!=6*2 = 12 formas diferentes.

Os demais 8-5 = 3  sem preferências, têm 3 assentos livres que podem ser ocupados de:

total de P(3)= 3! = 6  formas diferentes.
 

Pelo Princípio Multiplicativo, temos: 24*12*6 = 1.728

Paulo Testoni escreveu:Hola guilhermepagoto.

Vc disse:.......... existe uma maneira de permutar esse lugares cheios e vazios sem fazer ''na mão''? Muitas vez me deparei com problemas em que isso era inviável.

A maneira como o Elcio fez é muito importante, pois vc tem a possibilidade de perceber o que acontece no desenvolvimento descrito pelo problema e não a aplicação pura e simples de fórmulas.

Vou ajudar, veja:


Os 3 que querem sentar-se de frente podem ocupar os seus 4 assentos de:

C(4,3)*P(3) = 4*3!= 4*6 = 24 formas diferentes.

Os 2 que querem sentar-se de costas podem ocupar os seus 4 assentos de:

 C(4,2)*P(2) =6*2!=6*2 = 12 formas diferentes.

Os demais 8-5 = 3  sem preferências, têm 3 assentos livres que podem ser ocupados de:

total de P(3)= 3! = 6  formas diferentes.
 

Pelo Princípio Multiplicativo, temos: 24*12*6 = 1.728

Obrigado Paulo, na verdade me expressei mal, eu acho muito mais interessante a maneira intuitiva de fazer, inclusive eu sempre busco fazer pelo principio multiplicativo, mas eu me deparei com uma questao no qual nao foi possivel fazer isso e com isso nao conseguir termina-la. Outra coisa, se eu chamar os lugares vazios de ''V'' e os cheios de ''C'' e fazer como se fosse um anagrama tambem seria uma alternativa para problemas analogos?

Hola guilhermepagoto.


Tente fazes para ver o que acontece.