Subespaço vetorial

Considere W = {(x, y, z) ∈ R³ tal que ax + by + cz = d}; onde a, b, c, d ∈ R. Para que valores de a, b, c e d ∈ W é um subespaço vetorial de R³?
R.: d = 0, a, b e c são quaisquer.

o vetor (0,0,0) sempre está em qualquer espaço vetorial. Isso implica que d = 0. Por outro lado, caso d seja zero, esse conjunto é um subespaço vetorial. Pra verificar isso, basta notar que W é fechado pelas operações de soma e multplicação por escalar:

Se \( (x_1, y_1, z_1), (x_2,y_2,z_2) \in W\) então

\(ax_1 + by_1 + cz_1 = 0 = ax_2 + by_2 + cz_2 \implies a(x_1-x_2) + b(y_1-y_2) + c(z_1 - z_2) = 0\)

Ou seja, \( (x_1, y_1, z_1) - (x_2,y_2,z_2) = (x_1 - x_2, y_1- y_2, z_1- z_2) \in W\). Isso implica o fechamento de W em relação a adição.

Similarmente se \((x,y,z) \in W\) e \( \lambda \in \mathbb R\) então

\(ax+by+cz = 0 \implies \lambda ax + \lambda by + \lambda cz = 0\)

Ou seja, \( \lambda (x,y,z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z) \in W\). Portanto W é fechado pela multiplicação por escalar. Portanto W é subespaço vetorial