IEZZI - Funções Pares e Ímpares

Uma função, com domínio simétrico em relação à origem, é par se f(-x) = f(x) e é ímpar se f(-x) = - f(x), qualquer que seja x pertencente ao domínio. 
a) Prove que, se f é ímpar e 0 pertence ao seu domínio, então f(0) = 0. 
b) Prove que, se f é par e ímpar, então f(x) = 0.






Sempre tenho uma dificuldade em fazer "provas" desse tipo...

Obs: Sem gabarito

Provar é encontrar uma justificativa pra que a afirmação seja verdadeira. Por exemplo, alguns exemplos de funções impares são:
\(\bullet \, f(x) = x \)
\(\bullet \, f(x) = x^3  - 3x\)
\(\bullet \, f(x) = \textrm{sen }\!(x) \)
\(\bullet \, f(x) = \tan (x) \)
\(\bullet \, f(x) = e^x - e^{-x} \)

Repare que todas essas funções satisfazem a condição \( f(0)  = 0\) . Mas isso não é uma prova de que toda função ímpar tem essa propriedade. O que queremos é uma maneira de justificar isso sem ter que listar todas as funções impares que existem e verificar pra cada uma delas. Ou seja, precisamos de um argumento que funcione em todas. Para isso, procedemos refletindo sobre "o que significa a função ser impar?"

Pela definição dada na questão, uma função impar deve satisfazer \( f(x) = -f(-x)\) pra qualquer que seja o número \(x\). Ou seja, vale que \(f(2) = -f(-2)\), \( f(17) = - f(-17)\), \(f(\pi) = -f(\pi)\), etc. Para \(x = 0\) essa propriedade é:
\( f(0) = -f(-0)  \implies f(0) + f(0) = 0 \implies 2 f(0) = 0 \implies \boxed{f(0) = 0}\)

Isso quer dizer que qualquer função ímpar deve satisfazer que \(f(0) = 0\), pois concluímos isso a partir da propriedade \(f(x) = -f(-x)\) que toda função impar satisfaz. Isso é o suficiente para o item a). Em geral, para questões de "prove", vc tem que explorar dessa forma: pensar em casos simples, tentar entender com alguns exemplos a propriedade a ser provada, tentar entender as definições dos objetos envolvidos e procurar as justificativas a partir disso. O proximo item eu irei fazer mais concisamente.


b) Se \(f \) é uma função par, fixado um \(x\) qualquer, vale que \(f(x) = f(-x)\). Por outro lado, sendo \(f \) ímpar, para esse mesmo valor \(x\) vale que \(-f(x) = f(-x)\). Dessas igualdades decorrem que
\(f(x) = -f(x) \implies 2f(x) = 0 \implies \boxed{f(x)= 0}\)
Como \(x\) é arbitrário, segue que \(f\) é identicamente nula, isto é, \(f(x) \equiv 0\)