Permutação de caminhos possíveis- Passe Ufms

Passe Ufms 3 etapa  -Um estudante está em sua casa e pretende ir de bicicleta até a UFMS. A figura a seguir mostra os possíveis caminhos que ele pode percorrer, sendo que poderá pedalar ao longo dos quadrados pretos, mas não pode pedalar por eles e pode seguir pedalando apenas para baixo ou à direita. De quantas maneiras diferentes pode ele ir de casa à UFMS?
 A) 40. B) 56. C) 66. D) 70. E) 126.
Gabarito oficial: 66

Fala, Prade.
Fica difícil contabilizar a quantidade de caminhos pelos quais ele não passa pelo quadrado preto diretamente, então vamos tentar outra estratégia:

Vamos contar a quantidade de caminhos totais, como se não tivesse o quadrado preto, e tirar os casos em que ele passa pelo quadrado preto. Para os casos totais, ele teria que andar para a direita 5 vezes e para baixo 4 vezes. Podemos pensar nisso como uma permutação com repetição:
Imagine que você está fazendo um manual de instrução para o ciclista ler, onde D significa que ele tem que ir para a direita e B para baixo, uma das maneiras que você poderia construir esse manual seria:

DDDDDBBBB

ou também: DBDBDBDDB

Assim, basta fazer uma permutação de repetição com todos os B's e D's:
[latex]P = \frac{9!}{5!.4!} = 126[/latex]

Agora, vamos encontrar os caminhos pelos quais o ciclista passa pelo quadrado preto:



Basta que ele passe pelo ponto amarelo acima. O problema é a mesma permutação com repetição, primeiro devemos fazer um manual com 3 D (direitas) e 2 B (baixos), seguido de um manual de 2 D e 2 B.:

Isso dá:
[latex]P_1 . P_2 = \frac{5!}{2!.3!}.\frac{4!}{2!2!} = 60[/latex]

Tirando 60 de 126, temos 66.

João Pedro Lima escreveu:Fala, Prade.
Fica difícil contabilizar a quantidade de caminhos pelos quais ele não passa pelo quadrado preto diretamente, então vamos tentar outra estratégia:

Vamos contar a quantidade de caminhos totais, como se não tivesse o quadrado preto, e tirar os casos em que ele passa pelo quadrado preto. Para os casos totais, ele teria que andar para a direita 5 vezes e para baixo 4 vezes. Podemos pensar nisso como uma permutação com repetição:
Imagine que você está fazendo um manual de instrução para o ciclista ler, onde D significa que ele tem que ir para a direita e B para baixo, uma das maneiras que você poderia construir esse manual seria:

DDDDDBBBB

ou também: DBDBDBDDB

Assim, basta fazer uma permutação de repetição com todos os B's e D's:
[latex]P = \frac{9!}{5!.4!} = 126[/latex]

Agora, vamos encontrar os caminhos pelos quais o ciclista passa pelo quadrado preto:



Basta que ele passe pelo ponto amarelo acima. O problema é a mesma permutação com repetição, primeiro devemos fazer um manual com 3 D (direitas) e 2 B (baixos), seguido de um manual de 2 D e 2 B.:

Isso dá:
[latex]P_1 . P_2 = \frac{5!}{2!.3!}.\frac{4!}{2!2!} = 60[/latex]

Tirando 60 de 126, temos 66.

Agradeço demais !!!