Velocidade orbital

Uma espaçonave possui seu movimento em órbita com a Terra fazendo um trajeto perfeitamente circular de raio R com uma velocidade igual a v. Essa espaçonave possui um canhão apontado para a Terra. O canhão dispara um projétil com velocidade igual a metade da velocidade da espaçonave. Não levando em conta forças resistivas e o recuo do disparo, calcule a distância máxima do projétil com relação ao centro da Terra durante seu movimento subsequente.

 A) R 
 B) 3R/2 
 C) 2R 
 D) 2R/3 
 E) 4R  

Resposta :

Não entendi a ideia desta questão  

Por inércia, o projétil adquire uma velocidade de disparo igual a \( u_0 \):
\[
u_0^2 =  v^2 + \left( \frac{v}{2} \right)^2  = \frac{5v^2}{4} \ \ \land \ \ \sin \alpha = \frac{v}{u_0}
\]
Considere \( \alpha\) sendo o ângulo que liga espaçonave ao centro da Terra.

Para a situação inicial de órbita da espaçonave de massa \(m\), sendo \(M\) a massa da Terra:
\[
\frac{GMm}{R^2} = \frac{m v^2}{R} \Leftrightarrow v^2 = \frac{GM}{R}
\]
Conservação do momento angular (ausência de forças externas ao sistema), descobrimos a relação entre a velocidade final \(u\) e a distância \(x\) máxima da nova órbita
\[\begin{aligned}
mr \cdot \mathrm{velocidade} \sin \theta & = \mathrm{cte} \\
m' R u_0 \sin \alpha & = m' x u \sin \pi/2 \\
R u_0 \cdot \frac{v}{u_0} & = x u \\
u & = v \cdot \frac{R}{x}
\end{aligned}
\]
Por conservação de energia, e considerando uma massa \( m' \) para o projétil
\[\begin{aligned}
- \frac{GMm'}{R} + \frac{m'u_0^2}{2} & = - \frac{GMm'}{x} + \frac{m'u^2}{2} \\
- \frac{GM}{R} + \frac{5v^2}{8} & = - \frac{GM}{x} + \frac{v^2 \cdot R^2}{2x^2} \\
- \frac{GM}{R} + \frac{5GM}{8R} & = - \frac{GM}{x} + \frac{GMR}{2x^2} \\
-\frac{3}{8} & = -\frac{R}{x} + \frac{R^2}{2x^2}
\end{aligned}
\]
Assim
\[
3x^2  - 8 Rx + 4 R^2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4 R \pm \sqrt{ 16R^2 - 12R^2}}{3} = \frac{4R \pm 2R}{3}
\]
O valor de \(x\) que buscamos é o afélio (maior distância): \( x = \frac{4R + 2R}{3} = 2 R\).