ponto e reta
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ponto e reta
por Lidicy123 Sex 10 Jun 2022, 13:16
Se o ponto P = (a,b) é o pé da perpendicular baixada de M = (0,−3) até a reta y + x −5 = 0, então a + b é
igual a
A) 2.
B) 4.
C) 5.
D) 6.
gabarito letra c
igual a
A) 2.
B) 4.
C) 5.
D) 6.
gabarito letra c
Lidicy123- Padawan
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Re: ponto e reta
por Shino Sex 10 Jun 2022, 13:48
Boa tarde Lidicy123,
primeiramente vamos calcular a distância do ponto [latex]M[/latex] ate a reta (chamemos de [latex]r[/latex]), então:
[latex]d_{M,r} = \frac{|0\cdot1 - 3\cdot1 -5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 4\sqrt{2}[/latex]
Sabendo-se que a distância [latex]d_{M,r}[/latex] é também a distância entre o ponto M e o ponto P, temos que:
[latex]d_{M,P} = d_{M,r} \rightarrow \sqrt{(a-0)^2 + (b+3)^2} = 4\sqrt{2}[/latex]
Assim, chegamos na seguinte equação:
[latex]a^2+b^2+6b-23=0 \qquad (1)[/latex]
Nos também sabemos que o ponto [latex]P[/latex] pertence a reta [latex]r[/latex], portanto satisfazendo a seguinte equação:
[latex]a+b-5=0\qquad (2)[/latex]
Ao resolver [latex](1)[/latex] e [latex](2)[/latex] obtemos:
[latex]a = 4[/latex] e [latex]b = 1[/latex].
primeiramente vamos calcular a distância do ponto [latex]M[/latex] ate a reta (chamemos de [latex]r[/latex]), então:
[latex]d_{M,r} = \frac{|0\cdot1 - 3\cdot1 -5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 4\sqrt{2}[/latex]
Sabendo-se que a distância [latex]d_{M,r}[/latex] é também a distância entre o ponto M e o ponto P, temos que:
[latex]d_{M,P} = d_{M,r} \rightarrow \sqrt{(a-0)^2 + (b+3)^2} = 4\sqrt{2}[/latex]
Assim, chegamos na seguinte equação:
[latex]a^2+b^2+6b-23=0 \qquad (1)[/latex]
Nos também sabemos que o ponto [latex]P[/latex] pertence a reta [latex]r[/latex], portanto satisfazendo a seguinte equação:
[latex]a+b-5=0\qquad (2)[/latex]
Ao resolver [latex](1)[/latex] e [latex](2)[/latex] obtemos:
[latex]a = 4[/latex] e [latex]b = 1[/latex].
Shino- Jedi
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Re: ponto e reta
por Elcioschin Sex 10 Jun 2022, 15:01
Outro modo:
Reta r ---> x + y - 5 = 0 ---> y = - x + 5 ---> Coeficiente angular: m = - 1
A reta que contém MP, que passa por M(0, -3) é perpendicular à reta r ---> m' = 1 --->
y - (-3) = 1.(x - 0) ---> y = x - 3
P(a, b) ---> x - 3 = - x + 5 ---> a - 3 = - a + 5 ---> a = 4 ---> b = a - 3 ---> b = 1
a + b = 5
Reta r ---> x + y - 5 = 0 ---> y = - x + 5 ---> Coeficiente angular: m = - 1
A reta que contém MP, que passa por M(0, -3) é perpendicular à reta r ---> m' = 1 --->
y - (-3) = 1.(x - 0) ---> y = x - 3
P(a, b) ---> x - 3 = - x + 5 ---> a - 3 = - a + 5 ---> a = 4 ---> b = a - 3 ---> b = 1
a + b = 5
Elcioschin- Grande Mestre
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