Trigonometria e indução

Prove que para qualquer natural n maior que 1, cos(nx) pode ser escrito como uma soma de potências de cos(x) relacionadas a algum coeficiente real que independa de x:

[latex]cos(nx) = \sum\limits_{k=0}^{\mbox{n}}a_k{[cos(x)]^k}[/latex]


Eu consegui utilizando a expressão exponencial para complexos, vou deixar de forma bem resumida o que fiz :

Spoiler:

Entretanto, segundo o meu professor, essa pergunta da seção de exercícios adicionais é possível ser resolvida só por indução e trigonometria, que era o que eu devia utilizar já que esse era o conteúdo que estava sendo discutido. Alguém tem alguma proposta para realizar essa indução?

Desde já agradeço a ajuda.

Aqui eu acho que você usaria uma indução forte. Então, para o caso de "n = 1, 2 e 3" é imediato, por fórmulas conhecidas, suponha agora que vale para n menor ou igual a k, você precisa mostrar para o caso "n = k+1", daí é só usar que:

cos((k+1)x) = cos(kx + x) = cos(kx)cos(x) - sen(kx)sen(x)

O único problema é o último fator do lado direito da igualdade, aí basta desenvolver ele como uma soma de cossenos, mas aí você lembra das fórmulas de Prostaférese:

cos(a) - cos(b) = -2sen((a + b)/2)sen((a - b)/2) 

Basta encontrar quem é o a e quem é o b, fazendo isso você encontra que:

-sen(kx)sen(x) = (cos((k+1)x) - cos((k-1)x))/2

Substituindo no início:

cos((k+1)x) = cos(kx)cos(x) + (cos((k+1)x) - cos((k-1)x))/2
cos((k+1)x) = 2cos(kx)cos(x) - cos((k-1)x)

Por indução forte você sabe que vale para k e para k-1, então é só desenvolver o somatório aí neles e fechar a indução.

Bem, se eu não errei nenhuma passagem, seria essa a ideia. Qualquer coisa aí é só perguntar.

Acho que entendi, ao invés da indução clássica onde só se usaria um antecessor para provar que a propriedade vale para o termo consecutivo da indução, usam-se dois antecessores para provar a propriedade. Bem interessante.
Obrigado pela ajuda!

No caso de [latex]cos{[(n-1)x]} = \sum\limits_{k=0}^{\mbox{n-1}}a_k{[cos(x)]^k}[/latex] e [latex]cos(nx) = \sum\limits_{k=0}^{\mbox{n}}b_k{[cos(x)]^k}[/latex]


[latex]\scriptsize{cos{[(n+1)x]} = 2 cos(nx)cos(x) - cos{[(n-1)x]} }[/latex]

[latex]cos{[(n+1)x]} = 2cos(x) \sum\limits_{k=0}^{\mbox{n}}b_k{[cos(x)]^k} - \sum\limits_{k=0}^{\mbox{n-1}}a_k{[cos(x)]^k}[/latex]

[latex]cos{[(n+1)x]} = \sum\limits_{k=1}^{\mbox{n+1}}c_k{[cos(x)]^k} - \sum\limits_{k=0}^{\mbox{n-1}}a_k{[cos(x)]^k}[/latex]

[latex]cos{[(n+1)x]} = \sum\limits_{k=0}^{\mbox{n+1}}a_k{[cos(x)]^k} [/latex]


cos(x) = cos(x) OK!

cos(2x) = 2cos²(x) - cos ⁰(x) OK!

Opa, isso aí, algumas vezes não dá pra sair direto com a indução clássica, aí usa essa "indução forte" pra resolver. Talvez tenha como resolver direto com a indução clássica essa questão, mas não consegui enxergar uma maneira pra se fazer assim.