Posição relativa entre ponto e circunferência

por claralirasll Sex 04 Mar 2022, 13:16

(Iezzi) Determine as coordenadas do ponto de λ: x² + y² - 6x - 2y + 9 =0 mais distante de (5,3)

Gabarito::

por **qedpetrich** Sex 04 Mar 2022, 13:43

Olá Clara;

Existem diversas maneiras de resolver, eu pensaria dessa forma: Em um primeiro momento é interessante desenhar a situação, para isso, vou completar os quadrados da circunferência e plotar em um gráfico em conjunto com o ponto.

$Posição relativa entre ponto e circunferência Png$

Centro da circunferência C = (3,1) e raio R = 1. Assim:

Posição relativa entre ponto e circunferência 6AypOrA0YtAAAAAElFTkSuQmCC

A maior distância é dada pela reta que passa pelo centro e pelo ponto dado, calcule essa reta, em seguida aplique a intersecção da reta com a circunferência, e, após, calcule a distância entre os pontos encontrados e o ponto (5,3) e compare as distâncias. Se ainda não conseguir desenvolver, mande mensagem.

por claralirasll Sex 04 Mar 2022, 15:35

Boa tarde!

Ainda não consegui identificar meu erro
Seguindo suas recomendações, obtive:

a equação da reta que passa pelo ponto (5,3) e pelo centro da circunferência: x - y - 2= 0

fazendo a intersecção da reta com a circunferência, tem-se: 2y² - 4y + 1 = 0

o discriminante dessa intersecção é: ∆ = 8

daí, o y = [latex]\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}[/latex]

O que não confere com o gabarito

por **Rory Gilmore** Sex 04 Mar 2022, 16:25

Você errou na conta das raízes da equação do segundo grau. Refaça as contas.

por **Giovana Martins** Sex 04 Mar 2022, 22:00

Outro jeito, por geometria plana.

Posição relativa entre ponto e circunferência Scree301

[latex]\mathrm{Sendo\ \overline{CF}=\overline{DF}=a:}[/latex]

[latex]\mathrm{O(3,1),P(5,3)\to y=x-2\ \therefore \ m=tan\left ( \widehat{BCO} \right )=1\ \therefore \ \measuredangle \widehat{BCO} =45^{\circ}}[/latex]

[latex]\mathrm{\overline{CD}=\overline{CO}-R=R\sqrt{2}-R=R(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}-1}[/latex]

[latex]\mathrm{Do\ \bigtriangleup CDF:\ 2a^2=(\sqrt{2}-1)^2\to a\sqrt{2}=\sqrt{2}-1\to a=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore D(x_D,y_D)=D\left ( a+2,a \right )=D\left ( \frac{6-\sqrt{2}}{2},\frac{2-\sqrt{2}}{2} \right )}[/latex]

por claralirasll Sáb 05 Mar 2022, 19:40

Ótima resolução! Obrigada, Gabriela!!

por **Giovana Martins** Sáb 05 Mar 2022, 22:14

Aqui no fórum já me chamaram de Giovanna, Giovane, Giovani etc, mas nunca de Gabriela kkkkkkkkkkk.

Disponha, Janaína! Brincadeira kkkkkkkk.

Disponha, Clara. Que bom que ajudou Smile

.

por **Rory Gilmore** Sáb 05 Mar 2022, 23:51

kkkkkkk.

por claralirasll Seg 07 Mar 2022, 14:48

Desculpa pelo erro, Giovana!

Realmente não sei de onde tirei Gabriela kkkkkkk estava concentrada em entender a questão que acabei por cometer esse grande equívoco

Enfim, desculpa mais uma vez e muito obrigada pela resolução da questão Smile