Teoria dos números

Boa tarde;

Eu fiz uns esboços e obtive que esse somatório é congruente a 30 -n⁴ módulo 100. Eu suspeito que k comece em 0 ao invés de 1.Dá uma conferida se o somatório é assim mesmo. Se for desse jeito mesmo, a resposta dependerá do valor de n. Até é possível armar uma condição sobre esse valor, mas não é possível expressar o valor puramente com algarismos numéricos.

Boa tarde!
  O somatório é desse jeito mesmo, quebrei a cabeça por um tempo também mas tudo que consigo são resultados com n, em outros exemplos os resultados convergiam pra um único valor mas imagino que nesse exemplo não vá além disso. De qualquer forma, muito obrigado!!

Olá colega;
Bom de qualquer jeito vou expor o raciocínio inicial que me ocorreu:

Chamemos cada [latex]n + k[/latex] de [latex]a_k[/latex]. Observe que existe exatamente um único [latex]a_k[/latex] congruente a cada um dos valores de 1 a 100 (mod 100), exceto pelo fato de que não existe um [latex]a_k [/latex] que satisfaça [latex]a_k \equiv n \text{ }(mod \text{ }100)[/latex]. Isso ocorre porque foram somados 99 números consecutivos. Portanto:

[latex]\sum\limits_{k=1}^{\mbox{99}}a_k^4 \equiv (\sum\limits_{i=1}^{\mbox{100}}i^4) - n^4 \text{ } (mod \text{ } 100)[/latex]

Se você for calcular [latex] (\sum\limits_{i=1}^{\mbox{100}}i^4)[/latex] pela fórmula das soma das 4ª potencias dá um valor congruente a 30.

Agora, se o k começasse em 0 o somatório seria congruente a 30, porque ia ter a soma do termo n⁴