TEORIA DOS NUMEROS

por karinaescobar Sex 10 Jan 2014, 20:36

Sejam a,b,c três números naturais. Mostre que abc=(ab,ac,bc).[a,b,c]
Se alguém souber a respostar favor escrevê-la. GRATA

por megatron0000 Sex 10 Jan 2014, 20:57

Tomemos $d = mdc\left( {a,b} \right)$ , de forma que $a = a'd$ e $b = b'd$ com $mdc\left( {a',b'} \right) = 1$ ;

Definamos também $mmc\left( {a,b} \right) = al$ . Portanto $b|mmc\left( {a,b} \right) \Rightarrow b|al \Rightarrow b'd|a'dl \Rightarrow b'|a'l$ .

Já que $mdc\left( {a',b'} \right) = 1$ , $b'|l$

Agora, o mmc entre a e b tem que ser (por definição), o menor múltiplo entre os dois, logo $l$ deve ter o menor valor possível.

Esse valor, porém, será múltiplo de $b'$ , conforme o resultado a que chegamos. Finalmente, se $l$ é múltiplo de $b'$ e tem o menor valor possível, então $l = b'$ .

O restante da demonstração é mais simples:

$mmc\left( {a,b} \right) = al = a'dl = a'b'd$

$mmc\left( {a,b} \right)\left[ d \right] = ald\left[ d \right] = a'dld\left[ d \right] = a'b'd\left[ d \right] = ab$

$\therefore$

$mmc\left( {a,b} \right).mdc\left( {a,b} \right) = ab$

$C.Q.D$

por karinaescobar Sab 11 Jan 2014, 08:38

Desculpa a minha ignorância. Acho que essa não é a demostração pedida.

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