Polinômio de grau 5

Ao resolver a equação [latex]x^5 + 9x^3 + 5x -1 = 9x^2 + 5x^4[/latex] , observa-se que duas de suas raízes adquirem a forma [latex]\frac{3+\sqrt{a}}{2}[/latex] e [latex]\frac{1-\sqrt{b}}{2} [/latex] . Logo, o valor de a - b será:

[A] 2 [B] 4 [C] 6 [D] 8 [E] 10 

GAB: D

Teria alguma forma de resolver exceto fatorando como a forma abaixo ? Achei que é uma solução meio difícil de ir pensando na hora da prova.

x⁵ + 5.x⁴ + 9.x³ - 9.x² + 5.x - 1

Teorema das raízes racionais:

Divisores inteiros do termo independente de x ---> ± 1
Divisores inteiros do termo de maior grau ---> ± 1

Prováveis raízes racionais: ± 1/± 1 = ± 1

Briott-Ruffini:

_|1 -5 9 -9 5 -1
1|1 -4 5 -4 1 0 ---> x = 1 é raiz (Fazendo x = -1 vê-se que não é raiz)

Quociente ---> Q(x) = x⁴ - 4.x³ + 5.x² - 4.x + 1

Se (3 + √a)/2 é uma raiz ---> (3 - √a)/2 também é raiz

Se (1 - √b)/2 é uma raiz ---> (1 + √b)/2 também é raiz

Fatorando:

[x - (3 + √a)/2].[x - (3 - √a)/2] = x² - (9 - a)/4 ---> I

[x - (1 - √b)/2].[x - (1 + √b)/2] = x² - (1 - b)/4 ---> II

I*II ---> [x² - (9 - a)/4].[x² - (1 - b)/4] ---> Complete, compare com Q(x) e calcule a, b

Bom dia;

Eu vou mostrar umas propriedades interessantes dessa equação polinomial:

[latex]x^5 + 9x^3 + 5x -1 = 9x^2 + 5x^4 \implies P(x) = x^5 - 5x^4 + 9x^3 - 9x^2 + 5x -1 = 0[/latex]

Observe que [latex]P(1/x) = 0 \implies P(x) = 0[/latex].

Assim, P(x) é um polinômio recíproco de 2ª espécie, existe uma série de procedimentos no FME/Ruffino para resolver esse tipo de equação, então seria possível fatorar mecânicamente de forma sistemática e garantida (é um pouco trabalhoso). Mas eu vou usar outro método:

Teorema:
Se P(x) possui coeficientes racionais e [latex]P(x+y\sqrt z) =0[/latex], onde [latex]\sqrt z \not\in \mathbb{Q}[/latex], então [latex]P(x-y\sqrt z) =0[/latex]

Lembrando que o polinômio é recíproco e apresenta raízes irracionais do tipo do teorema, segue que:

[latex]P(\frac{3 + \sqrt a}{2}) = 0 \implies P(\frac{3 - \sqrt a}{2}) =0

P(\frac{3 + \sqrt a}{2}) = 0 \implies P(\frac{2}{3 + \sqrt a}) = 0 \implies P(\frac{2(3 - \sqrt a)}{9-a}) = 0 [/latex]

[latex]\frac{2(3 - \sqrt a)}{9-a} = \frac{3 - \sqrt a}{2} \implies 4 = 9-a \implies a =5 [/latex]

Procedendo análogamente para b vem :

[latex]b= -3 \implies a -b =(5) - ( -3 ) = 8[/latex]

Eu vi uma observação bem pontual do tipo:

[latex](x-1)^5 = x^5 -5x^4 + 10x^3 -10x^2 + 5x -1 = P(x) + x^3 -x^2 \implies

P(x) = (x-1)^5 - x^2(x-1)[/latex]

[latex]P(x) = (x-1)\text{[} (x-1)^4 - x^2\text{]} \implies (x-1)\text{[}(x-1)^2 + x \text{]}\text{[}(x-1)^2 - x \text{]} \implies[/latex]

[latex]P(x) = (x-1)(x^2 -3x +1)(x^2 -x +1)[/latex]

Bons estudos

João, entendi a propiedade usada, dei uma pesquisada sobre equações recíprocas após ler sua resposta, mas porque você usou [latex]p(\frac{2(3-\sqrt{a})}{9 -a})[/latex] ?

Olá Jvictors;

Jvictors021 escreveu:João, entendi a propiedade usada, dei uma pesquisada sobre equações recíprocas após ler sua resposta, mas porque você usou [latex]p(\frac{2(3-\sqrt{a})}{9 -a})[/latex] ?

[latex]\frac{2(3-\sqrt{a})}{9 -a}[/latex] é o inverso de [latex]\frac{3 + \sqrt a}{2}[/latex]:

[latex]\frac{2}{3 + \sqrt a}= \frac{2}{(3 + \sqrt a)}\cdot \frac{(3 - \sqrt a)}{(3 - \sqrt a)}=\frac{2(3 - \sqrt a)}{9-a}[/latex]