Polinômio de grau 3

Seja P(x) um polinômio de grau 3 tal que P(1)=P(2)=P(3)=5 e P(4)=17.
Obtenha o valor de P(5).

Olá Murilo Vale !

P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
Analisando o enunciado, temos o seguinte:
\left\{\begin{matrix}a & + & b & + & c & + & d & = & 5\\ 8a & + & 4b & + & 2c & + & d & = & 5\\ 27a & + & 9b & + & 3c & + & d & = & 5\\ 64a & + & 16b & + & 4c & + & d & = & 17\end{matrix}\right.

Transformando o sistema em produto de matrizes, temos:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 &1 \\  8& 4 & 2 &1 \\  27& 9 & 3 &1 \\  64& 16 & 4 & 1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5\\ 5\\ 5\\ 17\end{bmatrix}

Aplicando o método de eliminação de Gauss, teremos o seguinte:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 &1 \\  0& -4 & -6 &-7 \\ 0 & 0 & 6 & 11\\ 0 & 0 & 0 & -43\end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\\ d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\ -35\\ 55\\ 7\end{bmatrix}

Então teremos uma nova configuração de sistema:
\left\{\begin{matrix}a & + & b & + & c & + & d & = & 5\\ 0 & - & 4b & - & 6c & - & 7d & = & -35\\  0&  & 0 &  & 6c & + & 11d & = & 55\\ 0&  & 0 &  & 0 & - & 43d & = & 7\end{matrix}\right.

E resolvendo o  novo sistema teremos:
a=\frac{9361}{43}

b=-222

c=\frac{407}{43}

d=\frac{-7}{43}

Assim P(x)=\frac{9361}{43}x^{3}-222x^{2}+\frac{407}{43}x-\frac{7}{43}

P(5)=\frac{9361}{43}(5)^{3}-222(5)^{2}+\frac{407}{43}(5)-\frac{7}{43}

P(5) = \frac{933503}{43}

Não posso afirmar, pois você não colocou o gabarito oficial.
Mas acredito que essa seja a solução correta.

Oi Daniel, compreendi o seu raciocínio, contudo o gabarito aqui está P(5)=53

Desculpe não postar o gabarito junto com a pergunta

O raciocínio do Daniel está correto, os resultados é que não.

P(x) = 2x^3  -12x^2 + 22x -7

P(5)=53

Olá amigos Murilo Vale e Gauss !

Eu dei uma bela vacilada na parte da eliminação gaussiana. Então agora é hora de me redimir.

Vamos fazer a eliminação passo a passo:

Considere a matriz abaixo como a matriz aumentada do primeiro sistema que eu montei anteriormente:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 5\\ 8 & 4 & 2 & 1 &5 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & 5\\  64& 16 & 4 & 1 &17\end{bmatrix}

Agora vamos multiplicar a primeira linha por -8, somar com a segunda e depois pegar o resultado e colocar na segunda linha:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 5\\ 0 & -4 & -6 & -7 &-35 \\  27& 9 & 3 & 1 &5 \\  64& 16 & 4 &1  & 17\end{bmatrix}

Agora vamos multiplicar a primeira linha por -27, somar com a terceira e depois pegar o resultado e colocar na terceira linha:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 &5 \\ 0 & -4 &-6  & -7 & -35\\ 0 & -18 & -24 & -26 & -130\\ 64 & 16 & 4 & 1 & 17\end{bmatrix}

Agora vamos multiplicar a primeira linha por -64, somar com a quarta linha e depois pegar o resultado e colocar na quarta linha:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 5\\  0& -4 &-6  & -7 &-35 \\ 0 & -18 & -24 & -26 &-130 \\ 0 &  -48& -60 & -63 & -303\end{bmatrix}

Agora vamos multiplicar a segunda linha por -9 e multiplicar a terceira linha por 2, somamos as duas linhas e colocamos o resultado na terceira linha:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 &5 \\ 0 & -4 & -6 & -7 &-35 \\ 0 & 0 & 6 & 11 &55 \\  0&-48  & -60 & -63 & -303\end{bmatrix}

Agora vamos multiplicar a segunda linha por -12, somar com a quarta linha e colocar o resultado na quarta linha:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 &5 \\  0& -4 & -6 & -7 & -35\\ 0 & 0 & 6 & 11 &55 \\ 0 & 0 & 12 & 21 & 117\end{bmatrix}

Agora vamos multiplicar a terceira linha por -2, somar com a quarta linha e colocar o resultado na quarta linha:
\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 5\\  0& -4 & -6 & -7 & -35\\  0& 0 & 6 & 11 &55 \\  0& 0 & 0 & -1 & 7\end{bmatrix}

Assim o novo sistema formado será:
\left\{\begin{matrix}a & + & b & + & c & + & d & = & 5\\  & - & 4b & - & 6c & - & 7d & = &-35 \\  &  &  &  & 6c & + & 11d & = & 55\\  &  &  &  &  & - & d & = & 7\end{matrix}\right.

E resolvendo esse novo sistema, teremos o seguinte:

a=2

b=-12

c=22

d=-7

Então a configuração do polinômio será P(x)=2x^{3}-12x^{2}+22x-7

Portanto P(5)=53

Eu peço desculpas pelo vacilo :aaa:.

Um abraço a todos !

Sem problemas pelo vacilo.
Você ajudou bastante e ainda corrigiu.