Integral de Linha

por joseefreire Seg 21 Fev 2022, 11:43

Seja o campo vetorial A = (3x^2 + 6y) i − 14yz j + 20xz^2 k, calcular a integral de linha [latex]\int[/latex] A·dr de (0, 0, 0) até (1, 1, 1) ao longo das seguintes trajetórias:

a) x = t, y = t^2 e z = t^3 ;
b) a reta de (0, 0, 0) à (1, 0, 0), depois continuando até (1, 1, 0), e em seguida terminando em (1, 1, 1).

Gostaria de saber como resolver a alternativa b:

por joseefreire Seg 21 Fev 2022, 11:46

Gostaria de saber se a minha resolução da alternativa a está correta:

por joseefreire Qua 23 Fev 2022, 13:26

@Elcioschin se puder me dar uma help nesta questão, eu serei muito grato

por aitchrpi Qua 23 Fev 2022, 13:54

Olá,

na quinta linha, o último termo não é 20xz²dz? Como x = t e z = t³, 20xz²dz = 20 t t⁶ dz = 60t⁹dt.

b)

[latex]\int_0^1 9t^2dt + \int_0^1 -28t^6dt\,+ \int_0^1 60t^9dt = \int_0^1 9t^2 - 28t^6 + 60t^9\,\,dt = 5[/latex]

Faz sentido?

por joseefreire Qua 23 Fev 2022, 14:18

Corretíssimo. Fiz a correção da minha solução e a alternativa A bateu com a sua resposta. Muito obrigado.

Com relação a alternativa B, ainda fico em dúvida de como resolver, pois as equações paramétricas da alternativa A não são as equações das retas na alternativa B.

Ainda não tenho certeza se devo montar a equação de reta no espaço de R3 e aplicar o produto escalar entre o vetor A e o diferencial de linha (dr). Não sei se a solução é por onde eu estou pensando.

por aitchrpi Qua 23 Fev 2022, 15:19

Eu acho que na b) você tem que somar a integral de linha de cada caminho.

1 - De (0, 0, 0) até (1, 0, 0), o campo vetorial nas direções j e k é nulo.

[latex]\int_0^1 3x^2 dx = x^3 \Big|^1_0 = 1[/latex]

2 - De (1, 0, 0) até (1, 1, 0), o campo vetorial é constante na direção i e nulo nas direções j e k, já que a coordenada z é constante e igual a zero.

[latex]\int_0^1 3 + 6t^2 dt = 3t + 2t^3 \Big|^1_0 = 5[/latex]

3 - De (1, 1, 0) até (1, 1, 1), é constante na direção i e variável nas direções k e j.

[latex]\int_0^1 9 - 28t^4 + 60t^9 dt= 47/5[/latex]

Então, a soma é igual a: 1 + 5 + 47/5 = 15.4. Você tem o gabarito?

por joseefreire Qua 23 Fev 2022, 15:55

Sem gabarito para essa questão. Também acredito que seja somar as integrais de cada caminho.

Baseando-se no teorema do trabalho em Física, o valor do trabalho é independente do caminho, ou seja, temos a mesma força vetorial agindo na alternativa A e B, porém está agindo por caminhos diferentes, entretanto, os resultados finais devem ser iguais tanto na alternativa A quanto na B. Sendo assim, sabemos que a alternativa A nos deu o resultado de 5, concluo que o resultado da alternativa B também deve ser 5.

por aitchrpi Qua 23 Fev 2022, 16:32

O trabalho não é necessariamente independente do caminho. Isso só acontece se o campo vetorial for conservativo, ou seja, se o rotacional for zero, o que não é verdade para o campo vetorial em questão. Mas realmente, eu tinha confundido as trajetórias. Agora eu acho que ta certo:

1 - De (0, 0, 0) até (1, 0, 0): dr = i + 0j + 0k, y = 0 e z = 0;

[latex]\int_0^1 3x^2 dx = x^3\Big|^1_0 = 1[/latex]

2 - De (1, 0, 0) até (1, 1, 0): dr = 0i + j + 0k, x = 1 e z = 0;

[latex]\int_0^1 0 dy = 0[/latex]

3 - De (1, 1, 0) até (1, 1, 1): dr = 0i + 0j + k, x = 1 e y = 1

[latex]\int^1_0 20z^2dz = 20/3[/latex]

Soma: 23/3 = 7.666...

por joseefreire Qua 23 Fev 2022, 17:21

Você tem razão. O campo vetorial não é conservativo, e vendo sua resolução, consigo entender o raciocínio que por sinal faz muito sentido. Muito obrigado!