Integral de linha

por Almir Bruno Galoni Qui 06 Ago 2015, 09:52

Seja F(x,y)=(x+4x²+y², (4x²+y²)^2), (x,y) ∈ ℝ². Calcule a integral de linha

∫F.dl
γ

em que γ é a curva x² + (y²/4)=1 percorrida uma vez no sentido antihorário.

por **mauk03** Sex 07 Ago 2015, 12:58

Parametrizando a curva:
$x=\cos t$ , $y=2\sin t$ , $0\leq t\leq 2\pi$

Tem-se:
$\int_{\gamma }\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_{\gamma }(F_{x}(x,y)dx+F_{y}(x,y)dy)=\int_{\gamma }\left ( F_{x}(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}+F_{y}(x(t),y(t))\frac{dy}{dt} \right )dt$

Assim:
$\int_{\gamma }\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_{0}^{2\pi }\left ( (\cos t+4\cos^{2} t+4\sin^{2} t)(-\sin t)+(4\cos^{2} t+4\sin^{2} t)^{2}(2\cos t) \right )dt=$ $\int_{0}^{2\pi }\left ( (\cos t+4)(-\sin t)+4^{2}(2\cos t) \right )dt=\int_{0}^{2\pi }\left ( 32\cos t-4\sin t-\frac{\sin 2t}{2} \right )dt=$ $\left [ 32\sin t+4\cos t+\frac{\cos 2t}{4} \right ]_{0}^{2\pi }=0$

por Almir Bruno Galoni Sex 07 Ago 2015, 21:22

Obrigado Mauk03!
Mas poderia me explicar porque a parametrização de y²/4 foi 2sint e não apenas sint?
E porque ao joga-lo na integral ele foi como 4sin²t ao invés 2sin²t conforme a sua parametrização?

por **mauk03** Sáb 08 Ago 2015, 02:26

Porque a parametrização trigonométrica só é válida se satisfazerem as relações trigonométricas, neste caso:
$\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1$

Observe que o 2 multiplicando o seno aparece para cancelar-se com o 4 do denominador quando elevado ao quadrado.

por Almir Bruno Galoni Sáb 08 Ago 2015, 11:08

ok muito obrigado!!

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