integral de linha

por vinicius paiva duarte Qua 17 Jun 2015, 14:55

Considere os pontos A=(0,0)eB=(1,2). Qual o valor da integral de linha ∫BA(2xy)dx+(x2)dy?

por **mauk03** Qua 17 Jun 2015, 22:27

$\int_{(0,0)}^{(1,2)}2xydx+x^{2}dy=\int_{(0,0)}^{(1,2)}(2xy,x^{2})\cdot d\vec{r}$

O campo $\vec{F}(x,y)=(2xy,x^{2})$ é conservativo, pois F é diferenciável em todo seu domínio e $\textup{rot}\vec{F}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial x}-\frac{\partial (2xy)}{\partial y}=2x-2x=0$ .

Determinando a primitiva de F:
$\left ( \frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial y} \right )=(2xy,x^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\partial G}{\partial x}=2xy (I)\\ \frac{\partial G}{\partial y}=x^{2} (II) \end{matrix}\right.$

$(I):\frac{\partial G}{\partial x}=2xy\Rightarrow G=x^{2}y+f(y)$
$G=x^{2}y+f(y)\Rightarrow \frac{\partial G}{\partial y}=x^{2}+f'(y)$

$(I)\wedge (II): x^{2}+f'(y)=x^{2}\Rightarrow f'(y)=0\Rightarrow f(y)=C$

$\therefore G(x,y)=x^{2}y+C$

Logo:
$\int_{(0,0)}^{(1,2)}\vec{F}(x,y)\cdot d\vec{r}=\int_{(0,0)}^{(1,2)}\triangledown \vec{G}\cdot d\vec{r}=\left [ G(x,y) \right ]_{(0,0)}^{(1,2)}=\left [ x^{2}y+C \right ]_{(0,0)}^{(1,2)}=2$

integral de linha

integral de linha

Re: integral de linha

Um fórum livre e democrático.