(Índia) Números complexos

por wsschneider Seg 27 Dez 2021, 14:06

Seja k uma constante real e z um número complexo tal que |z| = 1. Prove que |z+k| = |k.z+1|

por catwopir Seg 27 Dez 2021, 16:55

Opa, vamos lá...
z=a+bi
[latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex]
temos também:

|z|=1 -> [latex]\sqrt{a^2+b^2}=1[/latex]

elevando ao quadrado, temos:

[latex]a^2+b^2=1[/latex]

okay... vou partir de um lado da igualdade e tentarei chegar no outro.
temos:

[latex] |kz+1|=|k(a+bi)+1|[/latex]

[latex]|ka+bik+1|=\sqrt{(ka+1)^2+b^2k^2}[/latex]

[latex]\sqrt{k^2a^2+2ak+1+b^2k^2}[/latex]

como [latex]1=a^2+b^2[/latex]

[latex]\sqrt{k^2a^2+2ak+a^2+b^2+b^2k^2}[/latex]

[latex]\sqrt{k^2(a^2+b^2)+2ak+a^2+b^2}[/latex]

[latex]\sqrt{k^2+2ak+a^2+b^2}=\sqrt{(k+a)^2+b^2}[/latex]

[latex]\sqrt{(k+a)^2+b^2}=|a+k+bi|=|z+k|[/latex]

acho que seja isso

por **Elcioschin** Seg 27 Dez 2021, 17:15

z = a + b.i ---> |z|² = |a + b.i|² ---> |z|² = a² + b² ---> a² + b² = 1 ---> I

|z + k|² = |a + b.i + k|² = |(a + k) + b.i|² = (a + k)² + b² = k² + 2.a.k + (a² + b²) = k² + 2.a.k + 1

|k.z + 1|² = |k.(a + b.i) + 1|² = |(a.k + 1) + k.b.i|² = (a.k + 1)² + (b.k)² =

a².k² + 2.a.k + 1 + b².k² = (a².k² + b².k²) + 2.a.k + 1 = (a² + b²).k² + 2.a.k + 1 = k² + 2.a.k + 1