Razões trigonométricas

por mathprime Dom 12 Dez 2021, 19:44

Em semicircunferência de centro O e diâmetro AB, traça-se um segmento BC perpendicular ao diâmetro AB de tal modo que [latex]A\hat{C}O = \alpha [/latex] e [latex]C\hat{A}B = 2\alpha [/latex]. Determine o valor da expressão:

[latex]\frac{1}{2}\cos \left ( 2\alpha \right )+\cos ^{2}\left ( 2\alpha \right )[/latex].

GABARITO: 1.

por **Renan Almeida** Dom 12 Dez 2021, 20:19

Acredito que sim. Tracei um segmento CD paralelo ao diâmetro a partir do ponto C, de forma que o ângulo ACD seja igual a α(DCO é alterno interno com COB). Como ACD é alterno interno com CAO, este também é igual a α, o que é impossível, já que o segmento OC não pode ser igual ao raio para que o triângulo seja classificado como isósceles.

por **Elcioschin** Dom 12 Dez 2021, 20:29

Acho que está errado sim:

AO = BO = R ---> AB = 2.R

BÔC = 2.a ---> I

AÔC = 180º - BÔC ---> AÔC = 180º - 2.a ---> II

AÔC + A^CO + CÂO = 180º ---> (180º - 2.a) + a + CÂO = 180º ---> CÂO = a = CÂB ---> III

tgCÂB = BC/AB ---> tga = BC/2.R ---> BC = 2.R.tga ---> IV

tgCÔB = BC/OB ---> tg(2.a) = BC/R ---> BC = R.tg(2.a) ---> V

V = IV ---> R.tg(2.a) = 2.R.tga ---> tg(2.a) = 2.tga ---> 2.tga/(1 - tg²a) = 2.tga --->

1 - tg²a = 1 ---> tga = 0 ---> a = 0 ---> Impossível