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Função Quadrática - CN/EPCAR

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Resolvido Função Quadrática - CN/EPCAR

Mensagem por castelo_hsi Sab 27 Nov 2021, 14:55

Na figura são representadas as parábolas Função Quadrática - CN/EPCAR Gif e Função Quadrática - CN/EPCAR Gif. Considere os segmentos verticais que tem uma extremidade em cada uma das parábolas. O menor desses segmentos mede:

Função Quadrática - CN/EPCAR Image

a) 5/2
b) 3/2
c) 2
d) 3
e) 4

*Não tenho o gabarito


Última edição por castelo_hsi em Sab 27 Nov 2021, 15:37, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Função Quadrática - CN/EPCAR

Mensagem por tales amaral Sab 27 Nov 2021, 15:14

Se [latex]f(x) = x^2[/latex] e [latex]g(x) = -x^2+2x-3[/latex], temos que o comprimento dos segmentos é dado pela distância entre os pontos [latex]A = (x,f(x))[/latex] e [latex]B = (x,g(x))[/latex]:


[latex]\begin{align*} d(A,B) &= \sqrt{\left[ f(x)-g(x)\right ]^2 + (x-x)^2}\\~\\ &= \sqrt{\left(x^2 +x^2-2x+3 \right )^2}\\~\\ &= | 2x^2 -2x+3 | \\~\\ &= \left|\left(\sqrt{2}x\right)^2 - 2\cdot \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot x + \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right )^2+\dfrac{5}{2}\right|\\~\\ &= \left|\left( \sqrt{2}x - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right )^2+\dfrac{5}{2}\right| \end{align*}[/latex]



Temos que a menor distância é [latex]\dfrac{5}{2}[/latex].
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Resolvido Re: Função Quadrática - CN/EPCAR

Mensagem por castelo_hsi Sab 27 Nov 2021, 15:23

Muitíssimo obrigado, colega.
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Resolvido Re: Função Quadrática - CN/EPCAR

Mensagem por Rory Gilmore Sab 27 Nov 2021, 15:48

Tales fez tudo correto, porém de forma MUITO TRABALHOSA. Então, para simplificar os cálculos vou deixar uma sugestão:
A distância entre dois pontos é mínima se o seu quadrado for mínimo. Daí, eliminamos a necessidade de usar a raiz:

d(A, B)² = (2x² - 2x + 3)²

Queremos d² mínimo, então basta calcular o mínimo de x² - 2x + 3 que ocorre para x = 1/2.

Substituindo x = 1/2 na fórmula da distância obtemos d = 5/2.

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Resolvido Re: Função Quadrática - CN/EPCAR

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