Função quadrática e área máxima - EPCAR/CN

Um agricultor fornecedor de arroz deseja diversificar seu catálogo. Desse modo, ele decidiu que iria separar parte de seu terreno e destiná-la à plantação de 75% de milho e 25% de soja. Porém, ao visitar seu galpão, verificou que havia disponível apenas 16m de arame enfarpado para delimitar o local. Sendo assim, utilizando seus conhecimentos matemáticos, o agricultor decidiu delimitar um terreno em forma de retângulo, de modo que a área de sua plantação fosse a máxima possível para que o seu lucro pudesse ser maior. Sabendo que área de plantação total dele é de 100 m² e que os valores obtidos por ele na venda dos produtos é de:
• R$ 180,00 por m2 de milho plantado.
• R$ 150,00 por m2 de arroz plantado.
• R$ 200,00 por m2 de soja plantado.
Assinale a alternativa correta
a) A área da nova plantação é 64m² e o aumento de lucro foi de R$2240,00
b) As dimensões da área nova de plantação são 4m e 12m
c) O fazendeiro na verdade, perdeu dinheiro com a nova plantação
d) A variação no valor que se é obtido só com o arroz supera perda de R$10000,00

Gabarito: a) A área da nova plantação é 64m² e o aumento de lucro foi de R$2240,00

Considerações iniciais
O agricultor tem um terreno de 100 m² (terreninho mixuruca heim!); e como o milho e a soja pagam mais (do que o arroz, que ele já tem) por m² pretende isolar a maior área possível com 16 m de arame farpado. Para o maior aproveitamento dessa pouca metragem de arame o melhor que ele pode fazer é aproveitar um canto do terreno, assim precisa cercar apenas dois lados com esses 16 m. Conforme veremos a frente, a configuração deste problema somente será possível se a menor dimensão do terremo dele for maior do que 8 m.

Solução

O agricultor quer a área máxima e sabemos que o quadrilátero com a maior relação Área/perímetro é o quadrado.

prova:
seja um retângulo de lados x e y, portanto perímetro p = 2.(x+y) ----> y = p/2 - x ........[i]
A = x.y = x.(p/2 - x) ----> A = -x² + (p/2)x ......... eq de párabola com concavidade para baixo, tem um máximo no vértice onde ocorre a área máxima
x_V = -(p/2)/2.(-1)  ----->  x = p/4 .......... [ii]
[ii] em [i] --> y = p/2 - p/4  ----->  y = p/4
portanto Amáx ocorre quando x = y, ou seja, um quadrado.

voltando:
Se metade do perímetro é 16 m, que é o que dispõe o agricultor para a cerca, então o lado do quadrado que ele vai isolar no canto do terreno tem 8 m; logo a área, que é máxima considerando o perímetro possível, é A = 8*8 = 64 m².

Apenas com isto já é possível escolher a alternativa (a).

Se por preciosismo desejar calcular o restante da alternativa basta fazer:
[1]valor do arroz que deixa de ser plantado = Var = 64*$150
[2] valor do milho agora plantado = Vmi = 64*0,75*$180 ---->  Vm = 64*$135
[3] valor da soja agora plantada = Vsj = 64*0,25*$200  ------->  Vsj = 64*$50

aumento do lucro = L = [2] + [3] - [1] = 64.(135 + 50 - 150) = 64.(35) ----->  L = $2.240,00 .......... como resultou valor positivo então realmente é um lucro.