Congruência de triângulos: LAAo [DEMONSTRAÇÃO @FME]

por johnnycashinblack Seg 04 Out 2021, 19:59

Saudações.
Parte da seguinte demonstração não me parece clara, e ficaria grato se alguém mais experiente no assunto pudesse me explicar:

Congruência de triângulos: LAAo [DEMONSTRAÇÃO @FME] Proble10

Se o segmento DB é congruente ao A'B', BC ao B'C' e o ângulo B ao ângulo B', então o triângulo DBC é congruente ao triângulo A'B'C', via LAL, não?
Não consegui entender por que o livro diz que o triângulo ABC é congruente ao A'B'C', baseando-se nas premissas expostas.

por **Rory Gilmore** Seg 04 Out 2021, 23:14

Estamos partindo da hipótese que os triângulos ABC e A'B'C' tem BC = B'C' e os ângulos B = B' e A = A'.

Assim temos:
I) Se AB = A'B' recaímos no caso LAL e os triângulos são, de fato, congruentes.

II) Se AB < A'B' pegamos o ponto D da semirreta AB de modo que construímos AD = A'B'. Assim recaímos no caso LAL e os triângulos ADC e A'B'C' são congruentes. Porém isso viola o teorema do ângulo externo, pois A deve ter ângulo maior do que D. Portando AB não é menor do que A'B'.

III) Analogamente a II concluímos que AB não é maior do que A'B'. Portanto AB = A'B' e os triângulos ABC e A'B'C' recaem no caso LAL sendo, então, congruentes.

por johnnycashinblack Ter 05 Out 2021, 20:09

Fiz um desenho tosco no Paint, mas espero que dê pra entender a tentativa.

Congruência de triângulos: LAAo [DEMONSTRAÇÃO @FME] Proble11

[latex]\bar{AC} \equiv \bar{A'C'}, \hat{B} \equiv \hat{B'}, \hat{A} \equiv \hat{A'} \Rightarrow \bigtriangleup ABC \equiv \bigtriangleup A'B'C' [/latex]

Primeiro caso:[latex]\bar{AB} \equiv \bar{A'B'}, \hat{B} \equiv \hat{B'}, \bar{AC} \equiv \bar{A'C'} \Rightarrow (LAL) \bigtriangleup ABC \equiv \bigtriangleup A'B'C' [/latex]
Segundo Caso: [latex]\bar{AB}<\bar{A'B'}, \bar{AD} \equiv \bar{A'B'}, \hat{A} \equiv \hat{A'}, \bar{AC} \equiv \bar{A'C'} \Rightarrow (LAL) \bigtriangleup ADC \equiv \bigtriangleup A'B'C' \Rightarrow \hat x \equiv \hat B' \equiv \hat B [/latex]
O que é absurdo, pois o ângulo x é externo adjacente ao ângulo A.
Terceiro caso: [latex]\bar{AB}>\bar{A'B'}, \bar{AE} \equiv \bar{A'B'}, \hat{A} \equiv \hat{A'}, \bar{AC} \equiv \bar{A'C'} \Rightarrow (LAL) \bigtriangleup AEC \equiv \bigtriangleup A'B'C' \Rightarrow A\hat EC \equiv \hat B' \equiv \hat B [/latex]
O que é absurdo, pois o ângulo AÊC é externo ao triângulo BEC e adjacente ao ângulo BÊC.

por **Rory Gilmore** Ter 05 Out 2021, 20:37

Estou sem tempo para analisar, mas não precisa de desenho novo. Reveja a imagem do livro em que se AB < A'B' então os ângulos A, A' e D são iguais, porém é absurdo porque A é ângulo externo ao triângulo ADC.

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