OMU 2017 função

por **tales amaral** Sex 06 Ago 2021, 11:02

Encontre todos os polinômios [latex]p(x)[/latex] com coeficientes reais tais que

[latex](x - 1)p(2x) = 4(x + 1)p(x) + 5 [/latex]

para todo real [latex]x \in \mathbb{R}[/latex].

por **SilverBladeII** Sex 06 Ago 2021, 14:04

Os coeficientes lideres devem ser iguais, portanto, se o coef lider de p(x) é a,
x*a(2x)^n=4x*ax^n
a*2^n=4a
2^n=4
n=2.
p(x) é um polinomio de 2º grau.
p(x)=ax²+bx+c, ent
(x-1)p(2x)=(x-1)(4ax²+2bx+c)=4ax³+(2b-4a)x²+(c-2b)x-c=
4(x+1)p(x)+5=4(x+1)(ax²+bx+c)+5=4ax³+4(b+a)x²+4(c+b)x+4c+5
portanto
2b-4a=4b+4a -> b=-4a
c-2b=4c+4b -> c=-2b=8a
-c=4c+5 -> c=-1
terminae. se tiver conta errada avisa, pf

por **tales amaral** Dom 08 Ago 2021, 11:05

SilverBladeII escreveu:Os coeficientes lideres devem ser iguais, portanto, se o coef lider de p(x) é a,
x*a(2x)^n=4x*ax^n
a*2^n=4a
2^n=4
n=2.
p(x) é um polinomio de 2º grau.
p(x)=ax²+bx+c, ent
(x-1)p(2x)=(x-1)(4ax²+2bx+c)=4ax³+(2b-4a)x²+(c-2b)x-c=
4(x+1)p(x)+5=4(x+1)(ax²+bx+c)+5=4ax³+4(b+a)x²+4(c+b)x+4c+5
portanto
2b-4a=4b+4a -> b=-4a
c-2b=4c+4b -> c=-2b=8a
-c=4c+5 -> c=-1
terminae. se tiver conta errada avisa, pf

Valeu pela ideia, amigo cheers

. Eu entendi a pegada, certamente vou usar se aparecer em alguma questão.