equaçoes parametricas e area

Sejam as retas r: 2x-y=-1 e l={(3t,t+1); t pertence a R}. Considere o ponto C=(3,7) pertence a r, um ponto A pertence a l que dista 2√ 5 da reta r e A' o simetrico de A em relação a r. Uma das possibilidades para a area de A do triangulo AA'C é:

Oi Amanda  

Veja que o ponto A pode ser escrito como A = (3t, t+1), uma vez que ele pertence à reta l. Aplicando a fórmula da distância entre ponto e reta para o ponto A(3t, t+1) e a reta r(2x-y+1=0), teremos:

[latex]\\d = \frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \rightarrow\;2\sqrt5 = \frac{|6t - t - 1 + 1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|5t|}{\sqrt{5}}\\\\ \rightarrow\;|5t|=10\;\rightarrow\;t=2\;\text{ ou }\;t=-2\\\\ \rightarrow\;\boxed{A=(6, 3)\;\text{ ou }\;A=(-6, -1)}[/latex]

Agora o próximo passo (e o mais trabalhoso) é encontrarmos o ponto A', que é o simétrico de A em relação à reta r.

Para isso, vamos traçar uma reta perpendicular a r, passando pelo ponto A. Os pontos dessa reta que distam 2√5 de r serão justamente A e A', conforme a imagem:



O coeficiente angular da reta s, perpendicular a r pode ser calculado da seguinte forma:

[latex]\\m_s.m_r=-1\;\rightarrow\;m_s.2 = -1\;\rightarrow\;\boxed{m_s=-\frac{1}{2}}[/latex]

Agora vamos dividir o problema em dois casos, que são as possibilidades de A.

1º Caso: A = (6,3)


Nesse caso, a equação da reta s, perpendicular a r e que passa por A será:

[latex]\\\left\{\begin{matrix}m_s=-\frac{1}{2}\\ A = (6,3)\end{matrix}\right. \rightarrow\;s:\;x+2y-12=0[/latex]

Como A' pertence à reta s, ele pode ser escrito como A'=(12-2t, t).  Aplicando a fórmula da distância entre ponto e reta para o ponto A'(12-2t, t) e a reta r(2x-y+1=0), teremos:

[latex]\\d = \frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \rightarrow\;2\sqrt5 = \frac{|24 - 4t - t + 1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|25-5t|}{\sqrt{5}}\\\\ \rightarrow\;|25-5t|=10\;\rightarrow\;t=3\;\text{ ou }\;t=7\\\\ \rightarrow\;\boxed{A=(6, 3)\;\text{ e }\;A'=(-2, 7)}[/latex]

Finalmente, como C = (3, 7), podemos encontrar a área do triângulo AA'C através da fórmula:

[latex]\\S=\frac{\Delta}{2}=\frac{1}{2}. | \begin{vmatrix}6 & 3 & 1\\ -2 & 7 & 1\\ 3 & 7 & 1\end{vmatrix} |\\\\ \boxed{S=10}[/latex]

2º Caso: A = (-6,-1)


Nesse caso, a equação da reta s, perpendicular a r e que passa por A será:

[latex]\\\left\{\begin{matrix}m_s=-\frac{1}{2}\\ A = (-6,-1)\end{matrix}\right. \rightarrow\;s:\;x+2y+8=0[/latex]

Como A' pertence à reta s, ele pode ser escrito como A'=(-8-2t, t).  Aplicando a fórmula da distância entre ponto e reta para o ponto A'(-8-2t, t) e a reta r(2x-y+1=0), teremos:

[latex]\\d = \frac{|ax_o+by_o+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \rightarrow\;2\sqrt5 = \frac{|-16-4t-t+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|-15-5t|}{\sqrt{5}}\\\\ \rightarrow\;|-15-5t|=10\;\rightarrow\;t=-1\;\text{ ou }\;t=-5\\\\ \rightarrow\;\boxed{A=(-6, -1)\;\text{ e }\;A'=(2, -5)}[/latex]

Finalmente, como C = (3, 7), podemos encontrar a área do triângulo AA'C através da fórmula:

[latex]\\S=\frac{\Delta}{2}=\frac{1}{2}. | \begin{vmatrix}-6 & -1 & 1\\ 2 & -5 & 1\\ 3 & 7 & 1\end{vmatrix} |\\\\ \boxed{S=50}[/latex]