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Mensagem por Ukitake Dom 04 Jul 2021, 18:54

Seja [latex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/latex] uma função que satisfaz [latex]x^2\textrm{sen}\!\left(\dfrac{5}{x}\right)+3 \leq f(x) \leq x^2 +3[/latex], para todo [latex]x \neq 0[/latex]
Calcule [latex]\lim\limits_{x\to 0} f(x)[/latex]

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Mensagem por Kayo Emanuel Salvino Dom 04 Jul 2021, 20:04

E aí! 

Olha só, x² + 3 é contínua, então você já tem o valor do limite quando x -> 0, que é 3.

O probleminha é em x²sen(5/x), vai usar teorema do confronto. Note:

-1 ≤ sen(5/x) ≤ 1 --> -x² ≤ x²sen(5/x) ≤ x² --> aplique o limite para x tendendo a zero em todos os lados, daí você tira que x²sen(5/x) tende a zero quando x tende a zero.

Logo, na desigualdade original, aplique lim x -> 0 em todos os lados. Vai ver que o limite pedido é 3. Ok ?
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