Limite

por barbara.rabello Dom 11 Ago 2013, 21:51

Preciso montar um limite para mostrar que Sum[1/2^{n}, {n, 0, infinity}] = 2.

Tentei montar o limite de 1/2^{n} com n indo para o infinito. Então substitui n por 0, mas daí eu não calculo o limite pois ele dá 1. Onde estou errando?

por **Euclides** Seg 12 Ago 2013, 00:21

$\\\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{1}{2} \right )^n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}\;\;\;\text{ PG, }q=\frac{1}{2}\\\\\\S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$
_______________________________

$\\S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}\\\\S=1+\frac{1}{2}\left (\underset{S}{\underbrace{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}}} \right ) \;\;\to\;\;S=1+\frac{S}{2}\;\Rightarrow \;S=2$

por barbara.rabello Seg 12 Ago 2013, 14:07

Boa tarde,

Primeiramente, obrigada pela ajuda! O seu raciocínio das duas primeiras linhas eu tive, consegui calcular o somatório, pela forma. O que estou me complicando é na hora de montar um limite para justificar. Pois, você utilizou o próprio somatório. Mas eu pensei que deveria ser utilizando apenas \frac{1}{2^{n}} para calcular o limite.

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