Números Binomiais e Trigonometria
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Números Binomiais e Trigonometria
por cristhoferaspm Qui 17 Jun 2021, 09:03
Determine os valores de x∈ R, x≠ π/2 +kπ , k ∈ Z e de n ∈ N para os quais a igualdade
[latex]n \sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i} (secx-tgx)^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^{i}}=\frac{255}{(secx+tgx)^{n}}[/latex]
Resposta:
∀x∈ R,x≠ π/2+kπ ; k∈ π; k∈ Z e n=8
[latex]n \sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i} (secx-tgx)^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^{i}}=\frac{255}{(secx+tgx)^{n}}[/latex]
Resposta:
∀x∈ R,x≠ π/2+kπ ; k∈ π; k∈ Z e n=8
cristhoferaspm- Iniciante
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Re: Números Binomiais e Trigonometria
por eduardodudu101 Ter 21 Set 2021, 23:08
Vou desconsiderar o n multiplicando o somatório,não sei se foi uma falha no enunciado.
Dados [latex]tg^^{2}x + 1 = sec^^{2}x[/latex] e [latex](x+y)^^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^^{n-k}y^^{k}[/latex] :
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \left ( (secx - tgx) + \frac{1}{(secx+tgx)} \right )^^{n} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \left ( \frac{(sec^^{2}x - tg^^{2}x) + 1}{(secx+tgx)} \right )^^{n} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \left ( \frac{tg^^{2}x + 1 - tg^^{2}x + 1}{(secx+tgx)} \right )^^{n} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n}}{(secx+tgx)^^{n}} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n} - [(secx - tgx)(secx + tgx)]^^{n}}{(secx+tgx)^^{n}}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n} - (sec^^{2}x - tg^^{2}x)^^{n}}{(secx+tgx)^^{n}}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n} - 1}{(secx+tgx)^^{n}}[/latex]
Voltando à expressão inicial da questão:
[latex]\frac{2^^{n} - 1}{(secx+tgx)^^{n}} = \frac{2^^{8}-1}{(secx +tgx)^^{n}}[/latex]
Logo,a identidade é válida para n = 8 e [latex]\forall x \in \mathbb{R},x\neq \frac{\pi}{2} + k\pi,k\in \mathbb{Z}[/latex]
Dados [latex]tg^^{2}x + 1 = sec^^{2}x[/latex] e [latex](x+y)^^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^^{n-k}y^^{k}[/latex] :
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \left ( (secx - tgx) + \frac{1}{(secx+tgx)} \right )^^{n} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \left ( \frac{(sec^^{2}x - tg^^{2}x) + 1}{(secx+tgx)} \right )^^{n} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \left ( \frac{tg^^{2}x + 1 - tg^^{2}x + 1}{(secx+tgx)} \right )^^{n} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n}}{(secx+tgx)^^{n}} - (secx - tgx)^^{n}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n} - [(secx - tgx)(secx + tgx)]^^{n}}{(secx+tgx)^^{n}}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n} - (sec^^{2}x - tg^^{2}x)^^{n}}{(secx+tgx)^^{n}}[/latex]
[latex]\sum_{i=1}^{n} \binom{n}{k}(secx - tgx)^^{n-i}.\frac{1}{(secx+tgx)^^{i}} = \frac{2^^{n} - 1}{(secx+tgx)^^{n}}[/latex]
Voltando à expressão inicial da questão:
[latex]\frac{2^^{n} - 1}{(secx+tgx)^^{n}} = \frac{2^^{8}-1}{(secx +tgx)^^{n}}[/latex]
Logo,a identidade é válida para n = 8 e [latex]\forall x \in \mathbb{R},x\neq \frac{\pi}{2} + k\pi,k\in \mathbb{Z}[/latex]
eduardodudu101- Jedi
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