Números binomiais

por DaviBahia Seg 19 Nov 2012, 23:58

Determine, no desenvolvimento, o termo independente de (2x + 2/x²)^6.

Gabarito: 20.

Considerando-se (2x + 2/x²)^6 como (x + a), considere 2x como x e 2/x² como a.

Só o x, nesse caso o 2x, tem que estar elevado a zero? Eu não entendo isso, sinceramente... porém, acho que é por esse caminho que se resolve essa questão.

por Werill Ter 20 Nov 2012, 00:16

O termo independente é o que não está acompanhado da incógnita x:

(2x)^{6 - p}.(2/x²)^p = 2^{6 - p}.2^p . x^{6 - p}.x^-2p =

2⁶ . x^{6 - 3p}

Agora sim, o expoente de x é zero:
6 - 3p = 0
p = 2

C6, 2 = 15

Logo, o termo independente é 15.2⁶ = 960

Acho que é isso...
Mas posso estar errado Neutral

por DaviBahia Ter 20 Nov 2012, 15:05

Gabarito: 20.

Ainda não entendi essa questão...

por DaviBahia Qua 21 Nov 2012, 20:14

Aliás, acho que a resposta é 960.

Porém, ainda não entendi perfeitamente a resolução, especialmente o início.

por Werill Sex 23 Nov 2012, 21:42

Pede-se o termo independente de x...

Sabemos que:
$T_{p + 1} = \binom{6}{p} \cdot \left (2x \right )^{6 - p}\; \cdot \left ( \frac{2}{x^2} \right )^p$

Temos que encontrar uma maneira de x se tornar 1, para isso seu expoente deve ser 0, como ambos os termos acompanham x, é interessante usar a propriedade de potência para juntá-los em uma só base:

$\\ T_{p + 1} = \binom{6}{p} \cdot 2^{6 - p} \cdot x^{6 - p} \cdot 2^p \cdot \frac{1}{(x^2)^p} \\\\\\ T_{p + 1} = \binom{6}{p} \cdot 2^{6 - p + p} \cdot x^{6 - p - 2p} \\\\\\ T_{p + 1} = \binom{6}{p} \cdot 2^{6} \cdot x^{6 - 3p}$

Agora pode-se observar que se o expoente de x for 0, encontraremos o termo independente:
$6 - 3p = 0 \;\;\;\ \Rightarrow \;\;\;\ p = 2$

Portanto:
$T_{2 + 1} = \binom{6}{2} \cdot 2^{6} = \frac{6!}{2!4!} \cdot 64 = 960$

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