Números Binomiais

por Chameleon Ter 05 Jan 2016, 11:34

Resolver a equação : $2\binom{x + 1}{4} = 7\binom{x - 1}{2}$

Só encontrei uma resposta: 6 ; as outras duas: 1 e 2 , como provar que são verdadeiras? Muito Obrigado.

por **Elcioschin** Ter 05 Jan 2016, 12:35

2.C(x + 1, 4) = 7.C(x - 1, 2)

2.(x + 1)!/4!.(x + 1 - 4)! = 7.(x - 1)/2!.(x - 1 - 2)!

2.(x + 1).x.(x - 1)!/24.(x - 3)! = 7.(x - 1)!/2.(x - 3)!

(x² + x).(x - 1)!/6.(x - 3)! = 7.(x - 1)!/x - 3)!

(x² + x).(x - 1).(x - 2).(x - 3)(x - 3)! = 42.(x - 1).(x - 2).(x - 3)!/(x - 3)!

(x² + x).(x - 1).(x - 2) - 42.(x - 1).(x - 2) = 0

(x - 1).(x - 2).(x² + x - 42) = 0

x - 1 = 0 ---> x = 1
x - 2 = 0 ---> x = 2
x² + x - 42 = 0 ---> x = - 7 e x = 6

x = - 7 ---> não serve pois x > 0
x = 1 e x = 2 ---> não servem, pois devemos ter (x + 1) ≥ 4 e (x - 1) ≥ 2

Única solução ---> x = 6

por vladimir silva de avelar Ter 05 Jan 2016, 13:03

Elcioschin, acredito que as soluções 1 e 2 servem. Na verdade não é preciso que x + 1 seja maior do que ou igual a quatro, ou que x - 1 seja maior do que ou igual a 2. Basta reparar que ambas essas combinações da equação dada vão resultar em zero, para x = 1 ou x = 2, uma vez que uma combinação Cn,k = 0, sempre que n < k.
Por exemplo, de quantas formas podemos retirar 4 bolas de uma urna que contém 2 bolas? Zero. Portanto, na minha opinião as soluções 1 e 2 são válidas.

por Chameleon Ter 05 Jan 2016, 13:05

Elcioschin escreveu:2.C(x + 1, 4) = 7.C(x - 1, 2)

2.(x + 1)!/4!.(x + 1 - 4)! = 7.(x - 1)/2!.(x - 1 - 2)!

2.(x + 1).x.(x - 1)!/24.(x - 3)! = 7.(x - 1)!/2.(x - 3)!

(x² + x).(x - 1)!/6.(x - 3)! = 7.(x - 1)!/x - 3)!

(x² + x).(x - 1).(x - 2).(x - 3)(x - 3)! = 42.(x - 1).(x - 2).(x - 3)!/(x - 3)!

(x² + x).(x - 1).(x - 2) - 42.(x - 1).(x - 2) = 0

(x - 1).(x - 2).(x² + x - 42) = 0

x - 1 = 0 ---> x = 1
x - 2 = 0 ---> x = 2
x² + x - 42 = 0 ---> x = - 7 e x = 6

x = - 7 ---> não serve pois x > 0
x = 1 e x = 2 ---> não servem, pois devemos ter (x + 1) ≥ 4 e (x - 1) ≥ 2

Única solução ---> x = 6

Muito obrigado Mestre Élcio !

Mas se (x + 1) < 4 e (x - 1) < 2 , os binômios da questão não seriam iguais zero? então : 2x0 = 7x0 -> 0 = 0 , provando que 1 e 2 são soluções?

por Chameleon Ter 05 Jan 2016, 13:11

vladimir silva de avelar escreveu:Elcioschin, acredito que as soluções 1 e 2 servem. Na verdade não é preciso que x + 1 seja maior do que ou igual a quatro, ou que x - 1 seja maior do que ou igual a 2. Basta reparar que ambas essas combinações da equação dada vão resultar em zero, para x = 1 ou x = 2, uma vez que uma combinação Cn,k = 0, sempre que n < k.
Por exemplo, de quantas formas podemos retirar 4 bolas de uma urna que contém 2 bolas? Zero. Portanto, na minha opinião as soluções 1 e 2 são válidas.

Vlw ! Consegui entender!

por **Elcioschin** Ter 05 Jan 2016, 16:49

Senhores

Eu não concordo com esta premissa da combinação C(n, p) ser nula para n < p, pelo seguinte motivo:

Por DEFINIÇÃO, NÃO existe permutação de números negativos, isto é, não existe P(-2)

Por definição, combinação C(n, p) somente existe para n ≥ p
Isto fica claro pela fórmula de combinação:

C(n, p) = n!/p!.(n - p)! ---> Se n < p, teríamos (n - p) < 0 ---> permutação de número negativo

Por favor pesquisem na literatura para confirmar isto.

por vladimir silva de avelar Ter 05 Jan 2016, 17:15

Não se amarre tanto a definições, esta "fórmula" de combinação tanto vale para inteiros, que, em alguns cursos mais avançados de análise combinatória é possível encontrar até o uso de números racionais. Aconselho ler sobre isso, pois é bem interessante, no momento não me recordo de algum material que possua algum exemplo, mas irei procurar.

por **Elcioschin** Ter 05 Jan 2016, 18:28

Eu me "amarro" sim a definições, porque definições são REGRAS básicas.

Por exemplo, por definição, log_bx somente existe se x > 0 , b > 0 e b ≠ 1
E gostaria de ver alguém desrespeitar esta definição.

Além disso, quem postou a questão estuda no Ensino Médio. Como explicar a ele as definições de cursos mais avançados.

por Chameleon Ter 05 Jan 2016, 18:32

Pessoal , tirei esta foto do meu livro:

$\binom{n}{k} = 0 , se \ n < k$
[img] Números Binomiais 2hgealj

[/img]

por vladimir silva de avelar Qua 06 Jan 2016, 07:15

Então, só estava tentando dizer que é perfeitamente lógico e não fere a solução da equação proposta pensar em combinações onde n < k, como no exemplo das urnas que citei. O exemplo dos racionais foi só um adendo, a função gama seria outro exemplo, onde essa fórmula é trabalhada em outro universo. Essa definição, na minha opinião, só limita algumas interpretações combinatórias, mas novamente, é só a minha opinião. Me desculpe se de alguma forma confundi a pessoa que trouxe a dúvida.