Questão - Equação de segundo grau

por Medlover_101 Qua 28 Abr 2021, 08:24

3. (Unitau 95) Qual é o valor da soma dos inversos dos quadrados das duas raízes da equação x^2+x+1=0?

Resposta: -1

Como resolvo a soma do inverso dos quadrados?

por FocoNoIMEITA Qua 28 Abr 2021, 09:52

Salve salve! Tudo certo?

A soma dos inversos dos quadrados é:
$Questão - Equação de segundo grau Gif$
Onde a e b são raízes da equação:

$Questão - Equação de segundo grau Gif$

Pelas relações de Girard:

$Questão - Equação de segundo grau Gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20a+b%3D1%20%26%20%5C%5C%20a.b%3D-1%20%26%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Vamos partir da seguinte expressão:
$Questão - Equação de segundo grau Gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D%3D%5Cfrac%7Ba+b%7D%7Ba$
Assim:

$Questão - Equação de segundo grau Gif$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$Questão - Equação de segundo grau Gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5E2%7D+%5Cfrac%7B2%7D%7Ba$

$Questão - Equação de segundo grau Gif$

Portanto:

$Questão - Equação de segundo grau Gif$

Espero ter ajudado! Grande Abraço!

por Cunto Qua 28 Abr 2021, 11:56

Uma solução alternativa sem tanta conta é usando somas de newton e girard, enfim, perceba que a soma dos inversos dos quadrados é o S-2 de newton, ai basta usar o teorema de newton que sai bem rapido. Essa ideia é muiiito util, principalmente em alguns problemas mais complicados, ja que ele poupa muito tempo e tempo em vestibular faz muita diferença. Caso não conheça e queira entender melhor tem no livro "Matemática em nivel ITA/IME" do caio guimaraes, pagina 114 . Lá ele explica bem direitinho isso e apresenta vários problemas sobre, vale muito a pena dar uma conferida.